Câu hỏi: Giải các phương trình sau:

a) | 3x - 2 | = 2x + 3

b) |2x - 1| = |-5x - 2|

c) $\frac{x-1}{2x-3}=\frac{-3x+1}{|x+1|}$

d) $|2x+5|=x^2+5x+1$

Hướng dẫn giải: 

a) |3x-2|=2x+3     (1)

TXĐ: D=R

+) Nếu $x\ge \frac{3}{2}$ thì phương trình (1) trở thành 3x-2=2x+3 => x=5

Giá trị x=5 thỏa mãn điều kiện nên x=5 là một nghiệm của phương trình (1)

+) Nếu $x<\frac{3}{2}$ thì phương trình (1) trở thành 2-3x=2x+3 => $x=\frac{-1}{5}$

Giá trị $x=\frac{-1}{5}<\frac{2}{3} ên x=\frac{-1}{5} là một nghiệm của phương trình \left(1\right)$

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=5 và $x=\frac{-1}{5}$

b) |2x-1|=|-5x-2|     (2)

TXĐ: D=R

Bình phương cả 2 vế ta có phương trình (2) tương đương:

$$\begin{gathered} {(2x-1)}^2={(-5x-2)}^2 \\ \iff 4x^2-4x+1=25x^2+20x+4 \\ \iff 21x^2+24x+3=0 \\ \iff (21x+3)(x+1)=0 \end{gathered}$$

$\iff [\begin{array}{c}21x+3=0\\ x+1=0 \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{-1}{7}\\ x=-1\end{array}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=-1 và $x=\frac{-1}{7}$

c) $\frac{x-1}{2x-3}=\frac{-3x+1}{|x+1|}$     (3)

ĐKXĐ: $x\ne \frac{3}{2} và x\ne -1$

+) xét x>-1, khi đó x+1>0 nên |x+1|=x+1

Khi đó phương trình (3) tương đương:

$$\begin{gathered} \iff \frac{x-1}{2x-3}=\frac{-3x+1}{x+1} \\ \iff (x-1)(x+1)=(-3x+1)(2x-3) \\ \iff x^2-1=-6x^2+11x-3 \\ \iff 7x^2-11x+2=0 \\ \iff x=\frac{11\pm \sqrt{65}}{14} \end{gathered}$$

Xét điều kiện xác định, ta thấy $x=\frac{11+\sqrt{65}}{14} và x=\frac{11-\sqrt{65}}{14}$ thỏa mãn điều kiện.

+) Xét x<-1, khi đó x+1<0 nên |x+1|=-x-1

Khi đó phương trình (3) tương đương:

$$\begin{gathered} \iff \frac{x-1}{2x-3}=\frac{-3x+1}{-x-1} \\ \iff (x+1)(x-1)=(2x-3)(-3x+1) \\ \iff 1-x^2=-6x^2+11x-3 \\ \iff 5x^2-11x+4=0 \\ \iff x=\frac{11\pm \sqrt{41}}{10} \end{gathered}$$

Xét điều kiện xác định ta thấy không thỏa mãn điều kiện x<-1

Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=\frac{11+\sqrt{65}}{14} và x=\frac{11-\sqrt{65}}{14}$

d) $|2x+5|=x^2+5x+1$     (4)

TXĐ: D=R

+) Xét $2x+5\ge 0\iff x\ge \frac{-5}{2}$. Khi đó |2x+5|=2x+5

Khi đó phương trình (4)

$$\begin{gathered} \iff 2x+5=x^2+5x+1 \\ \iff x^2+3x-4=0 \\ \iff (x+4)(x-1)=0 \end{gathered}$$

$\iff [\begin{array}{c}x=-4 \left(Loại\right) \\ x=1 (thỏa mãn)\end{array}$

+) Xét 2x+5<0$\iff x<\frac{-5}{2}$ khi đó |2x-5|=-2x-5

Khi đó phương trình (4) tương đương:

$$\begin{gathered} \iff -2x-5=x^2+5x+1 \\ \iff x^2+7x+6=0 \\ \iff (x+1)(x+6)=0 \end{gathered}$$

$\iff [\begin{array}{c}x=-1 (không thỏa mãn)\\ x=-6 (thỏa mãn) \end{array}$

Vậy phương tình có hai nghiệm là x=-6 và x=1