Bài 1: Mệnh đề toán học
Lý thuyết Mệnh đề toán học
<h3><strong>1. Mệnh đề toán học</strong></h3>
<p><strong>Mỗi mệnh đề toán học phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề toán học không thể vừa đúng, vừa sai</strong></p>
<p><em>Ví dụ</em>: Trong hai mệnh đề toán học sau đây, mệnh đề nào là một khẳng định đúng? Mệnh đề nào là một khẳng định sai?</p>
<p>P: "Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>180</mn><mo>°</mo></math>"</p>
<p>Q: "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math> là số hữu tỉ"</p>
<p style="text-align: left;">Giải:</p>
<p>Mệnh đề P: "Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>180</mn><mo>°</mo></math>" đúng</p>
<p>Mệnh đề Q: " <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math> là số hữu tỉ" sai vì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math> là số vô tỉ, không phải một số hữu tỉ.</p>
<h3><strong>2. Mệnh đề chứa biến</strong></h3>
<p>Xét câu "n chia hết cho 3" với n là số tự nhiên</p>
<p>a) Ta có thể khẳng định được tính sai của câu trên hay không?</p>
<p>b) Với n = 21 thì câu "21 chia hết cho 3" có phải là mệnh đề toán học hay không? Nếu là mệnh đề toán học thì mệnh đề đó đúng hay sai?</p>
<p>c) Với n = 10 thì câu "10 chia hết cho 3" có phải là mệnh đề toán học hay không? Nếu là mệnh đề toán học thì mệnh đề đó đúng hay sai?</p>
<p style="text-align: left;">Giải:</p>
<p>a) Ta chưa thể khẳng định được tính sai của câu "n chia hết cho 3" với n là số tự nhiên</p>
<p>b) Với n = 21 thì câu "21 chia hết cho 3" là mệnh đề toán học vì nó khẳng định một sự kiện trong toán học. Đây là một mệnh đề đúng do 21 : 3 = 7 nên 21 chia hết cho 3</p>
<p>c) Với n = 10 thì câu "10 chia hết cho 3" cũng là mệnh đề toán học vì nó khẳng định một sự kiện trong toán học. Mệnh đề này sai vì 10 không chia hết cho 3.</p>
<p><em>Nhận xét</em>: </p>
<ul>
<li>Câu "n chia hết cho 3" với n là số tự nhiên là 1 mệnh đề chứa biến</li>
<li>Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n); mệnh đề chứa biến x, y là P(x;y)</li>
</ul>
<p><em>Ví dụ</em>: Trong những câu sau đây, câu nào là mệnh đề chứa biến?</p>
<p>a) 18 chia hết cho 9</p>
<p>b) 3n chia hết cho 9</p>
<p style="text-align: left;">Giải:</p>
<p>a) Câu "18 chia hết cho 9" là mệnh đề nhưng không phải mệnh đề chứa biến</p>
<p>b) Câu "3n chia hết cho 9" là mệnh đề chứa biến, kí hiệu là P(n): "3n chia hết cho 9"</p>
<h3><strong>3. Phủ định của một mệnh đề</strong></h3>
<p><em><strong>Cho mệnh đề P. Mệnh đề "Không phải P" được gọi la mệnh đề phủ định của mệnh đề P và kí hiệu là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>P</mi><mo>¯</mo></mover></math></strong></em></p>
<p><em>Ví dụ</em>: Lập mệnh đề phủ định của mọi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:</p>
<p>A:"16 là bình phương của một số nguyên"</p>
<p>B:"25 không chia hết cho 5"</p>
<p style="text-align: left;">Giải:</p>
<p>Mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><menclose notation="top"><mi>A</mi></menclose></math>:"16 không là bình phương của một số nguyên" và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><menclose notation="top"><mi>A</mi></menclose></math> sai</p>
<p>Mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><menclose notation="top"><mi>B</mi></menclose></math>:"25 chia hết cho 5" và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><menclose notation="top"><mi>B</mi></menclose></math> đúng</p>
<h3><strong>4. Mệnh đề kéo theo</strong></h3>
<p><em><strong>Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>Q</mi></math></strong></em></p>
<p><em><strong>Mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>Q</mi></math> sai thì P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.</strong></em></p>
<p><em>Nhận xét</em>: Tùy theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta phát biểu mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>Q</mi></math> là "P kéo theo Q" hay "P suy ra Q" hay "Vì P nên Q"</p>
<p><em>Ví dụ</em>: Cho tam giác ABC. Xét 2 mệnh đề:</p>
<p>P:"Tam giác ABC có hai góc bằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>60</mn><mo>°</mo></math>"; Q:" Tam giác ABC đều"</p>
<p>Hãy phát biểu mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>Q</mi></math> và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.</p>
<p style="text-align: left;">Giải:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>Q</mi></math>:" Nếu tam giác ABC có 2 góc bằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>60</mn><mo>°</mo></math> thì tam giác ABC đều". Mệnh đề trên là đúng</p>
<p>Nhận xét: Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường phát biểu ở dạng mệnh đề kéo theo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>Q</mi></math></p>
<p>Khi đó ta nói: P là giả thiết, Q là kết luận của định lí hay P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P.</p>
<h3><strong>5. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương.</strong></h3>
<p><em><strong>Mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Q</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>P</mi></math> được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>Q</mi></math></strong></em></p>
<p><em><strong>Nếu cả hai mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>Q</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Q</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>P</mi></math> đều đúng thì ta nói P và Q là 2 mệnh đề tương đương, kí hiệu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>Q</mi></math></strong></em></p>
<p>Trong toán học, những câu khẳng định đúng phát biểu ở dạng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>"</mo><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>Q</mi><mo>"</mo></math> cũng được goi là mệnh đề toán học, gọi là mệnh đề tương đương.</p>
<p><em>Nhận xét</em>: Mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>Q</mi></math> có thể phát biểu ở những dạng như sau:</p>
<ul>
<li>"P tương đương Q"</li>
<li>"P là điều kiện cần và đủ để có Q"</li>
<li>"P khi và chỉ khi Q"</li>
<li>"P nếu và chỉ nếu Q"</li>
</ul>
<p><em>Ví dụ</em>: Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:</p>
<p>P:"Tam giác ABC đều"</p>
<p>Q:"Tam giác ABC cân và có 1 góc bằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>60</mn><mo>°</mo></math>"</p>
<p>Hãy phát biểu hai mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>Q</mi><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mi>Q</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>P</mi></math> và xác định tính đúng sai của mệnh đề đó</p>
<p>Nếu cả hai mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.</p>
<p style="text-align: left;">Giải:</p>
<ul>
<li>Mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>Q</mi></math> là "Vì tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân và có 1 góc bằng 60<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>°</mo></math>". Mệnh đề đúng</li>
<li>Mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Q</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>P</mi></math> là" Tam giác ABC cân và có 1 góc 60<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>°</mo></math> suy ra tam giác ABC đều". Mệnh đề đúng</li>
<li>Mệnh đề tương đương:
<ul>
<li>"Tam giác ABC đều tương đương tam giác ABC cân và có 1 góc bằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>60</mn><mo>°</mo></math>"</li>
<li>"Tam giác ABC đều là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC cân và có 1 góc bằng "</li>
<li>"Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có 1 góc bằng "</li>
<li>"Tam giác ABC đều nếu và chỉ nếu tam giác ABC cân và có 1 góc bằng "</li>
</ul>
</li>
</ul>
<h3><strong>6. Kí hiệu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∀</mo><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mo>∃</mo></math></strong></h3>
<p><em><strong>Cho mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>"</mo><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>X</mi><mo>"</mo></math></strong></em></p>
<ul>
<li><em><strong>Phủ định của mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>X</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> là mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∃</mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>X</mi><mo>,</mo><mo> </mo><menclose notation="top"><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></menclose></math></strong></em></li>
<li><em><strong>Phủ định của mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∃</mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>X</mi><mo>,</mo><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> là mệnh đề <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>X</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>¯</mo></mover></math></strong></em></li>
</ul>
<p><em>Ví dụ</em>: Ban An nói:" Mọi số thực đều có bình phương là một số không âm"</p>
<p>Bạn Bình phủ định lại câu nói của An:" Có 1 số thực mà bình phương của nó là 1 số âm"</p>
<p>a) Sử dụng kí hiệu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>"</mo><mo>∀</mo><mo>"</mo></math>để viết mệnh đề của bạn An </p>
<p>b) Sử dụng kí hiệu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>"</mo><mo>∃</mo><mo>"</mo></math> để viết mệnh đề của bạn Bình</p>
<p style="text-align: left;">Giải:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mi>A</mi><mi>n</mi><mo>:</mo><mo>"</mo><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℝ</mi><mo>,</mo><mo> </mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>"</mo><mspace linebreak="newline"/><mi>b</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mi>B</mi><mi>ì</mi><mi>n</mi><mi>h</mi><mo>:</mo><mo>"</mo><mo>∃</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℝ</mi><mo>,</mo><mo> </mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo><</mo><mn>0</mn><mo>"</mo></math></p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn Giải Hoạt động 1 (Trang 5 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Luyện tập - Vận dụng 1 (Trang 5 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Hoạt động 2, 3 (Trang 6 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Luyện tập - Vận dụng 2, 3 (Trang 6 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Hoạt động 4, 5 (Trang 7 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Luyện tập - Vận dụng 4 (Trang 7 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Hoạt động 6 (Trang 8 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Luyện tập vận dụng 5, 6 (Trang 8 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Hoạt động 7 (Trang 9 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Hoạt động 8 (Trang 10 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Luyện tập - Vận dụng 7 (Trang 11 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 11, SGK Toán 10, Bộ Cánh Diều mới nhất, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 11, SGK Toán 10, Bộ Cánh Diều mới nhất, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 11, SGK Toán 10, Bộ Cánh Diều mới nhất, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 11, SGK Toán 10, Bộ Cánh Diều mới nhất, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 11, SGK Toán 10, Bộ Cánh Diều mới nhất, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 6 (Trang 11, SGK Toán 10, Bộ Cánh Diều mới nhất, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 7 (Trang 11, SGK Toán 10, Bộ Cánh Diều mới nhất, Tập 1)
Xem lời giải