Bài 5 (Trang 103 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác MNP có M(2; 1), N(– 1; 3), P(4; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP};$

b) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{MN} . \overrightarrow{MP}$;

c) Tính độ dài các đoạn thẳng MN, MP;

d) Tính $\cos \widehat{NMP};$

e) Tìm tọa độ trung điểm I của NP và trọng tâm G của tam giác MNP.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{OM} = ( 2 ; 1 ); \overrightarrow{MN} = ( - 3 ; 2 ); \overrightarrow{MP} = ( 2 ; 1 ).$

b) Ta có: $\overrightarrow{MN} . \overrightarrow{MP} = -3.2 + 2.1 = -4$

c)Ta có:

$MN = \left|\overrightarrow{MN}\right| = \sqrt{{(-3)}^2 +\hspace{0.17em}{2}^2} = \sqrt{13}; MP = \left|\overrightarrow{MP}\right| = \sqrt{2^2 +\hspace{0.17em}{1}^2} = \sqrt{5}$

d) Ta có: $\cos \widehat{MNP} = \frac{\overrightarrow{MN} . \overrightarrow{MP}}{\overrightarrow{\left|MN\right|} . \overrightarrow{\left|MP\right|}} = \frac{4}{\sqrt{13} . \sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{65}}$

e) Tọa độ trung điểm I của đoạn NP là: $I (\frac{3}{2}; \frac{5}{2})$

Tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP là: 
$\left\{\begin{array}{l}{x}_G = \frac{x_M + x_N + x_P}{3} = \frac{5}{3}\\ y_G = \frac{y_M + y_N + y_P}{3} = 2\end{array}\right.$

Vậy $G(\frac{5}{3}; 2)$