Bài 3 (Trang 59, SGK Toán Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)

Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng và mép trên bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc 60° (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hướng dẫn giải:

Gọi chiều cao của bức tường là x (mét) (x > 0). 

Vì chiếc thang cao hơn tường 1 m nên chiều cao của chiếc thang là x + 1 (m). 

Khi đó quan sát Hình 33a ta thấy, AC = x, AB = x + 1, tam giác ABC vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có: AB² = AC² + BC² 

Suy ra: $B{C}^2 = A{B}^2 – A{C}^2 ={ (x + 1)}^2 – x^2 = 2x + 1 \Rightarrow BC = \sqrt{2x + 1 }\left(m\right)$

Quan sát Hình 33b, ta thấy chiều cao bức tường không thay đổi nên DG = x (m). 

Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC – 0,5.

$\Rightarrow GE=\sqrt{2x+1}- 0,5 \left(m\right)$

Lại có tam giác DGE vuông tại G nên ta có: $\tan \widehat{DEG} =\frac{DG}{GE}$

Mà $\widehat{DEG}=60°$, DG = x, $GE=\sqrt{2x + 1} - 0,5$

Do đó $\frac{x}{\sqrt{2x+1}-0,5}=\tan 60°=\sqrt{3}$

Suy ra $x=\sqrt{3}(\sqrt{2x+1}-0,5)$

$$\begin{gathered} \iff x=\sqrt{3.(2x+1)} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \iff \sqrt{3.(2x+1)} = x + \frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

 Bình phương hai vế của (1) ta được: $3(2x+1) = {(x + \frac{\sqrt{3}}{2})}^2$

$$\begin{gathered} \iff 6x + 3 = x^2 + \sqrt{3}x + \frac{3}{4} \\ \iff x^2 + \left(\sqrt{3} - 6\right)x - \frac{9}{4} = 0 \\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{6 - \sqrt{3} + \sqrt{48 - 12\sqrt{3}}}{2} \approx 4,7\\ x=\frac{\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{48}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{12}\sqrt{\mathbf{3}}}}{\mathbf{2}} \approx -0,5\end{array} \end{gathered}$$

Do x > 0 nên x ≈ 4,7 là giá trị thỏa mãn.

Vậy bức tường cao khoảng 4,7 m.