Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 58 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
<p><strong>Bài 1 (Trang 59, SGK Toán Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)</strong></p>
<p>Giải các phương trình sau:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>)</mo><mo> </mo><msqrt><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>1</mn></msqrt><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msqrt><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>3</mn></msqrt><mspace linebreak="newline"/><mi>b</mi><mo>)</mo><mo> </mo><msqrt><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>6</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>6</mn></msqrt><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msqrt><msup><mi>x</mi><mrow><mo> </mo><mn>2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mo> </mo><mn>6</mn></msqrt><mspace linebreak="newline"/><mi>c</mi><mo>)</mo><mo> </mo><msqrt><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>9</mn></msqrt><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mspace linebreak="newline"/><mi>d</mi><mo>)</mo><mo> </mo><msqrt><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>2</mn></msqrt><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi>x</mi></math></p>
<p><strong><span style="text-decoration: underline;"><em>Hướng dẫn giải:</em></span></strong></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>)</mo><mo> </mo><msqrt><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>1</mn></msqrt><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msqrt><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>3</mn></msqrt></math> (1)</p>
<p>Bình phương hai vế của (1) ta được: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>3</mn></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>5</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msqrt><mn>57</mn></msqrt></mrow><mn>4</mn></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><msqrt><mn>57</mn></msqrt></mrow><mn>4</mn></mfrac></mtd></mtr></mtable></math></p>
<p>Thử lại ta thấy cả hai giá trị trên đều thỏa mãn (1).</p>
<p>Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>+</mo><msqrt><mn>57</mn></msqrt></mrow><mn>4</mn></mfrac><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>-</mo><msqrt><mn>57</mn></msqrt></mrow><mn>4</mn></mfrac></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi><mo>)</mo><mo> </mo><msqrt><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>6</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>6</mn></msqrt><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>6</mn></msqrt></math> (2)</p>
<p>Bình phương hai vế của (2) ta được: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mn>6</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mn>6</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mn>6</mn></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mo> </mo><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mn>6</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mn>6</mn><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>6</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo> </mo><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo> </mo><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mn>6</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo> </mo><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>.</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>–</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable></math></p>
<p>Thử lại ta thấy hai giá trị x = 0 và x = 2 đều không thỏa mãn (2).</p>
<p>Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi><mo>)</mo><mo> </mo><msqrt><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>9</mn></msqrt><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>3</mn></math> (3)</p>
<p>Trước hết ta giải bất phương trình <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mo> </mo><mo>≥</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>≥</mo><mo> </mo><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></math></p>
<p>Bình phương cả hai vế của (3) ta được: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>9</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>9</mn><mo>=</mo><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>–</mo><mn>12</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>9</mn><mo> </mo><mo> </mo><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo> </mo><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>–</mo><mn>12</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>9</mn><mo>–</mo><mi>x</mi><mo>–</mo><mn>9</mn><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo> </mo><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo> </mo><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>–</mo><mn>13</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo> </mo><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>.</mo><mo>(</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>–</mo><mn>13</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>13</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>13</mn><mn>4</mn></mfrac></mtd></mtr></mtable></math></p>
<p>Trong hai giá trị trên có giá trị <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>13</mn><mn>4</mn></mfrac></math> thỏa mãn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>≥</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></math></p>
<p>Vậy nghiệm của phương trình đã cho là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>13</mn><mn>4</mn></mfrac></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><mo>)</mo><mo> </mo><msqrt><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>2</mn></msqrt><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi>x</mi></math></p>
<p>Trước hết ta giải bất phương trình: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>≥</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>≤</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo>.</mo></math></p>
<p>Bình phương hai vế của (4) ta được: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>–</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mo>–</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo> </mo><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo> </mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>–</mo><mo> </mo><mn>8</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>6</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo> </mo><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo> </mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>–</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>3</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></math></p>
<p>Trong hai giá trị trên có giá trị x = 1 thỏa mãn x ≤ 2.</p>
<p>Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.</p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn Giải Luyện tập - Vận dụng 1 (Trang 57 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Luyện tập - Vận dụng 2 (Trang 58 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 59 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 59 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 59 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 59 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)
Xem lời giải