Bài 1 (Trang 59, SGK Toán Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 1)

Giải các phương trình sau:

$$\begin{gathered} a) \sqrt{2x^2 - 3x - 1} = \sqrt{2x + 3} \\ b) \sqrt{4x^2 - 6x - 6} = \sqrt{x^{ 2}- 6} \\ c) \sqrt{x + 9} = 2x - 3 \\ d) \sqrt{-x^2 + 4x - 2} = 2 - x \end{gathered}$$

Hướng dẫn giải:

$a) \sqrt{2x^2 - 3x - 1} = \sqrt{2x + 3}$ (1)

Bình phương hai vế của (1) ta được: $2x^2 - 3x - 1 = 2x + 3$

$$\begin{gathered} \iff 2x^2 - 3x - 1 - 2x - 3 = 0 \\ \iff 2x^2 - 5x - 4 = 0 \\ \iff [\begin{array}{l}x = \frac{5 + \sqrt{57}}{4}\\ x = \frac{5 - \sqrt{57}}{4}\end{array} \end{gathered}$$

Thử lại ta thấy cả hai giá trị trên đều thỏa mãn (1).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{5+\sqrt{57}}{4} và x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$

$b) \sqrt{4x^2-6x-6}=\sqrt{x^2-6}$ (2)

Bình phương hai vế của (2) ta được: $4x^2 – 6x – 6 = x^2 – 6$

$$\begin{gathered} \iff 4x^2 – x^2 – 6x – 6 + 6 = 0 \\ \iff 3x^2 – 6x = 0 \\ \iff 3x.(x–2) = 0 \\ \iff [\begin{array}{l}x = 0\\ x - 2 = 0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x = 0\\ x = 2\end{array} \end{gathered}$$

Thử lại ta thấy hai giá trị x = 0 và x = 2 đều không thỏa mãn (2).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

$c) \sqrt{x + 9} = 2x - 3$ (3)

Trước hết ta giải bất phương trình $2x - 3 \ge 0 \iff x \ge \frac{3}{2}$

Bình phương cả hai vế của (3) ta được: $x + 9 = {(2x – 3)}^2$

$$\begin{gathered} \iff x+9=4x^2–12x+9 \\ \iff 4x^2–12x+9–x–9=0 \\ \iff 4x^2–13x=0 \\ \iff x.(4x–13)=0 \\ \iff [\begin{array}{l}x = 0\\ 4x - 13 = 0\end{array} \\ \iff [\begin{array}{l}x = 0\\ x = \frac{13}{4}\end{array} \end{gathered}$$

Trong hai giá trị trên có giá trị $x=\frac{13}{4}$ thỏa mãn $x\ge \frac{3}{2}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\frac{13}{4}$

$d) \sqrt{-x^2 + 4x - 2}= 2 - x$

Trước hết ta giải bất phương trình: $2 – x \ge 0 \iff x \le 2.$

Bình phương hai vế của (4) ta được: $–x^2 + 4x – 2 = {(2 – x)}^2$

$$\begin{gathered} \iff –x^2 + 4x – 2 = 4 – 4x + x^2 \\ \iff 2x^2 – 8x + 6 = 0 \\ \iff x^2– 4x + 3 = 0 \\ \iff [\begin{array}{l}x = 3\\ x = 1\end{array} \end{gathered}$$

Trong hai giá trị trên có giá trị x = 1 thỏa mãn x ≤ 2.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.