Cách nhẩm nghiệm các phương trình đặc biệt chính xác nhất

Phương trình bậc cao là một bài toán “khó” đối với nhiều học sinh. Tính nhẩm nghiệm nguyên của một phương trình giúp giảm thời gian giải phương trình và tìm nghiệm còn lại. Hiểu rõ điều này Colearn sẽ mang đến cho bạn những cách nhẩm nghiệm cực hay các phương trình bậc cao nhanh chóng nhất, cùng lưu lại nào! 

Bất kỳ học sinh nào cũng nên biết cách nhẩm nghiệm

Các cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 phổ biến

Học cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2

Định nghĩa rõ ràng phương trình bậc 2: 

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax² + bx + c = 0

Ở đây:  

• x là ẩn số
• a, b, c là các số đã biết trước (a khác 0)
• a, b, c là hệ số của phương trình, có thể phân biệt bằng cách gọi tên các hệ số của x (theo phương trình trên, a là hệ số bậc hai, b là một hệ số tuyến tính, và c là một chu kỳ không đổi hoặc tự do).  

Xem thêm: MINDMAP – 5 PHÚT THUỘC NHANH TOÁN LỚP 6 CỰC KỲ HIỆU QUẢ

Cơ sở lý thuyết của cách nhẩm nghiệm: dựa vào định lý Vi-ét

Định lý bao gồm 2 phần, phần thuận và phần đảo:

*Nếu phương trình dạng ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm x₁, x₂ thì:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1 + {\mathrm{x}}_2 = \frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \\ {\mathrm{x}}_1.{\mathrm{x}}_2 = \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}} \end{gathered}$$

Mặt khác, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v  là các nghiệm của phương trình X² – SX + P = 0

Cách 1: A = 1, B = Tổng, C = Tích

• Nếu phương trình đã cho có dạng sau: x² - (u+v)x + uv = 0    thì phương trình đó có 2 nghiệm tương ứng là u và v.
• Nếu phương trình đã cho có dạng sau: x² + (u+v)x + uv = 0   thì phương trình đó có 2 nghiệm tương ứng là -u và -v. 
• Do đó, loại này yêu cầu hai phép tính nhẩm: “ Phân tích hệ số C biến thành tích và hệ số B biến thành tổng”. Hai phép toán này yêu cầu bạn tính hệ số C trước rồi kết hợp với B để tìm hai số thỏa mãn tích của chúng bằng C và tổng của chúng bằng B.
• Trong khi thực hiện cách nhẩm nghiệm này, hãy nhẩm lại những điều sau: Tích của hai nghiệm bằng C, tổng của hai nghiệm bằng B.

Nếu các em học sinh muốn cải thiện năng lực nhanh hơn nên đăng ký hỏi gia sư của Colearn để hiểu sâu kiến thức và giải được các bài tập cùng dạng dễ dàng.

Cách 2: A + B + C = 0 và A - B + C = 0

x² – (u+v)x + uv = 0 => x₁ = u, x₂ = v (1)

• Thay v = 1 cho (1) ta được các trường hợp tính nhẩm quen thuộc a + b + c = 0, a = 1, b = (u + 1), c = u.
• Thay v = -1 cho (1) có thể dẫn đến trường hợp nhẩm nghiệm sau đây a - b + c = 0, a = 1, b = -(u-1), c = -u

Cách 3: Hai nghiệm đảo nghịch với nhau

Nếu u khác 0, v = 1/u thì (1) trở thành dạng như sau:

${\mathrm{x}}^2 - \left(\mathrm{u} + \frac{1}{\mathrm{u}}\right)\mathrm{x} + \mathrm{u}.\frac{1}{\mathrm{u}} = 0 \iff \mathrm{u}.{\mathrm{x}}^2 - \left({\mathrm{u}}^2 +\hspace{0.17em}1\right)\mathrm{x} +\hspace{0.17em}\mathrm{u} = 0$

Khi đó phương trình có 2 nghiệm đảo nghịch với nhau là x = u, x = 1/u, có thể nói trường hợp này khá phổ biến ở cách nhẩm nghiệm khi giải các bài toán phương trình.

Cách 4: Các trường hợp ngoại lệ

Cho phương trình có hệ số khác 1 mà không thuộc cách nhẩm nghiệm 2 hoặc 3 thì phép tính phải chia cho a cả hai vế và rút gọn thành cách nhẩm nghiệm 1 đã đề cập phía trên để nhẩm nghiệm nhanh chóng. Các em có thể tham khảo thư viện khoa học tổng hợp của Colearn để nắm vững kiến thức trọng tâm nhanh nhất.

Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc ba bằng lược đồ Hoocner

 
Nhẩm nghiệm phương trình bậc 3 cực nhanh

Phương trình bậc ba là gì?

Trước khi tìm hiểu chi tiết về phương pháp nhẩm nghiệm, chúng ta cần hiểu rõ phương trình bậc ba là gì. Trên thực tế, đây là phương trình có lũy thừa cao nhất là ba. Phương trình bậc ba là một trong những phương trình khó và có thể giải được bằng nhiều cách giải linh hoạt. Đặc biệt, hãy tham khảo cách nhẩm nghiệm sau đây nhé!

Cách nhẩm nghiệm

Khi gặp các bài toán liên quan đến tham số của phương trình bậc ba, các bạn thường sử dụng nguyên tắc suy ra nghiệm rồi chia cho Hoocner. Đây cũng là cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 3 mà Colearn muốn hướng dẫn bạn.

Xem thêm: Cách học giỏi Toán không còn quá xa vời

Nguyên tắc khi nhẩm nghiệm

• Nếu tổng cộng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x = 1
• Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x = -1 
• Nếu phương trình này có chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và thử lại tính đúng sai 

Chia Hoocner: đầu rơi - nhân tới - cộng chéo => Phương trình đã nhẩm được nghiệm.

Phương pháp nhẩm nghiệm phương trình trùng phương - phương trình bậc 4. 

Trong đại số, phương trình trùng dương có dạng: ax⁴ + bx² + c = 0 $\left(\mathrm{a}\ne 0\right)$ (*)

Vì bậc cao nhất là 4 nên phương trình trùng dương có thể được gọi là phương trình bậc bốn có khoảng cách từ 3 đến 1 về lũy thừa. Để giải được phương trình bậc 4 chúng ta hẳn là sẽ có vô vàn phương pháp, tuy nhiên Colearn sẽ bật mí cho các bạn cách nhẩm nghiệm nhanh - gọn - lẹ - chính xác để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán phương trình này nhé!

Xem thêm: 5 Bí quyết học giỏi Toán Hình từ mất gốc đến nâng cao

Khi biết cách áp dụng cách nhẩm nghiệm sẽ giúp học sinh tiến bộ trong học tập

Cách nhẩm nghiệm: 

• Đặt t = x² (t>=0) thì (*) ⇔ at² + bt + c = 0 (**)
• Việc xác định số nghiệm của (*) phụ thuộc vào số nghiệm của (**) và dấu của chúng:
• Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ (**) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép mang dấu âm hoặc có 2 nghiệm phân biệt mang dấu âm.
• Phương trình (*) có 1 nghiệm ⇔ (**) có nghiệm kép t₁ = t₂ = 0 hoặc (**) có 1 nghiệm = 0 và nghiệm còn lại mang dấu âm.
• Phương trình (*) có 2 nghiệm ⇔ (**) có nghiệm kép mang dấu dương hoặc (**) có 2 nghiệm trái dấu nhau.
• Phương trình (*) có 3 nghiệm ⇔ (**) có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại mang dấu dương.
• Phương trình (*) có 4 nghiệm ⇔ (**) có 2 nghiệm mang dấu dương phân biệt. 

Có thể sẽ gặp một chút khó khăn đối với chúng ta khi chưa quen cách nhẩm nghiệm, nhưng đừng vội bỏ cuộc vì sợ khó. Các em có thể tham khảo giải bài tập sách giáo khoa để hiểu sâu cách giải những dạng bài tập quan trọng. Hãy tưởng tượng rằng kết quả của phép tính nhẩm là "vô số" so với "vô số trở ngại" mà bạn phải đối mặt. Bạn sẽ có động lực hơn để tiến về phía trước. Colearn chúc bạn luôn học tốt.

Tác giả: Haien