Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng . Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh MA.MB = MC.MD.

Hướng dẫn: Xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng.

Giải:

TH1: M nằm trong đường tròn.

$\widehat{BCD}, \widehat{BAD}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\widehat{BD}$

$\Rightarrow \widehat{BCD}= \widehat{BAD}$

$$\begin{gathered} △BMC và △DMA có: \\ \widehat{BCM}= \widehat{DAM} \left(cmt\right); \\ \widehat{BMC}= \widehat{DMA} \left(đối đỉnh\right); \end{gathered}$$

$\Rightarrow \frac{BM}{DM}=\frac{MC}{MA}$

⇒ MA.MB = MC.MD

TH2: M nằm ngoài đường tròn.

$\widehat{BAD}$ là góc nội tiếp chắn cung lớn $\widehat{BmD}$

$\Rightarrow \widehat{BAD}=\frac{1}{2}.sđ\widehat{BmD}.$

$\widehat{BCD}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ $\widehat{BnD}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{BCD}=\frac{1}{2}.sđ\widehat{BnD}. \\ \Rightarrow \widehat{BAD} +\widehat{BCD} \\ =\frac{1}{2}\left(sđ \widehat{BmD}+sđ \widehat{BnD}\right)={180}^o. \\ Mà \widehat{BCM}+\widehat{BCD}={180}^o\left(hai góc kề bù\right) \\ \Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{BCM} \end{gathered}$$

ΔMBC và ΔMDA có:

$\widehat{M }chung, \widehat{MCB}=\widehat{MAD}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{MB}{MD}=\frac{MC}{MA} \\ \Rightarrow MA.MB=MC.MD \end{gathered}$$