a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Giải

a) 

Chứng minh: $\stackrel{⏜}{IA}=\stackrel{⏜}{IB}$ suy ra IA = IB.

Lại có: OA = OB. Vậy đường kính IK là đường trung trực của AB, suy ra HA = HB.

Mệnh đề đảo: 

Chứng minh: Tam giác cân OAB cho ta $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$, từ đó suy ra $\stackrel{⏜}{IA}=\stackrel{⏜}{IB}$.

Vậy mệnh đề đảo cũng đúng.

Điều kiện hạn chế: Dây AB không đi qua tâm O.

b) 

Chứng minh: $\stackrel{⏜}{IA}=\stackrel{⏜}{IB}$ suy ra IA = IB. Lại có OA = OB. Vậy đường kính IK là đường trung trực của AB, suy ra $IK\perp AB$.

Chứng minh: Tam giác cân AOB có OH là đường cao cũng là phân giác nên $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$, suy ra $\stackrel{⏜}{IA}=\stackrel{⏜}{IB}$