Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Giải

• Trường hợp tâm O ngoài hai dây song song (hình a) kẻ đường kính MN // AB, ta có:

          $\hat{A}=\widehat{AOM}, \hat{B}=\widehat{BON}$ (các góc so le trong)

          Mà $\hat{A}=\widehat{B }(△OAB$ cân)

          Vậy: $\widehat{AOM}=\widehat{BON}$ suy ra: $\stackrel{⏜}{AM}=\stackrel{⏜}{BN}$   (1)

          Lí luận tương tự, ta có: $\stackrel{⏜}{CM}=\stackrel{⏜}{DN}$      (2)

          Vì C nằm trên cung $\stackrel{⏜}{AM}$ và D nằm trên cung $\stackrel{⏜}{BN}$, từ (1) và (2) suy ra:

                    $$\begin{gathered} \stackrel{⏜}{AM}-\stackrel{⏜}{CM}=\stackrel{⏜}{BN}-\stackrel{⏜}{DN} \\ \stackrel{⏜}{AC}=\stackrel{⏜}{BD} \end{gathered}$$

• Trường hợp tâm O nằm trong hai dây song song (hình b) kẻ đường kính MN // AB // CD. Chứng minh tương tự ta có: 

                            $$\begin{gathered} \stackrel{⏜}{AM}=\stackrel{⏜}{BN} \left(3\right) \\ \stackrel{⏜}{CM}=\stackrel{⏜}{DN} \left(4\right) \end{gathered}$$

         Vì C nằm trên cung $\stackrel{⏜}{AM},$ D nằm trên cung $\stackrel{⏜}{BN}$ nên từ (3) và (4) suy ra:

                       $\stackrel{⏜}{AM}+\stackrel{⏜}{MC}=\stackrel{⏜}{BN}+\stackrel{⏜}{DN}$

                hay $\stackrel{⏜}{AC}=\stackrel{⏜}{BD}$