Đề bài

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=2AD$.  Gọi $E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,CD$. Gọi $M$ là giao điểm của $A$ và $DE$, $N$ là giao điểm của $B$ và $CE$.

a) Tứ giác $ADFE$ là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác $EMFN$ là hình gì? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB=CD,AD=BC,AB//CD$

Lại có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD nên $E=EB=\frac{AB}{2},DF=FC=\frac{DC}{2}$
Lại có AB=2AD
Suy ra AE=EB=BC=CF=FD=DA
a) Xét tứ giác ADFE có:
AE//DF (do AB//CD), AE=DF (chứng minh trên)
$\Rightarrow$ Tứ giác ADFE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành ADFE có $\widehat{A}={90}^0$ nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật )

Hình chữ nhật ADFE có AE=AD (chứng minh trên) nên nó là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)
b) Xét tứ giác DEBF có:
EB//DF (do AB//CD), EB=DF (chứng minh trên)
$\Rightarrow$ Tứ giác DEBF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
$\Rightarrow DE//BF$ (tính chất hình bình hành)
Xét tứ giác AECF có:
EA//CF (do AB//CD), EA=CF (chứng minh trên)

$\Rightarrow$ Tứ giác $AECF$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

$\Rightarrow$ $AF//EC$ (tính chất hình bình hành)

Xét tứ giác $EMFN$ có: $ME//NF,MF//NE$ (do $DE//BF,AF//EC$ (chứng minh trên))

$\Rightarrow$ Tứ giác $EMFN$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Theo câu a, $ADFE$ là hình vuông nên $ME=MF,ME\perp MF$ (tính chất hình vuông)

Hình bình hành EMFN có $\widehat{M}={90}^0$ nên là hình chữ nhật, lại có ME=MF nên là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)