Đề bài

Cho hình $107$, trong đó $ABCD$ là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác $EFGH$ là hình vuông. 

Lời giải chi tiết

Các tam giác vuông $AEH,BFE,CGF,DHG$ có:

$AE=BF=CG=DH$ (1) (giả thiết)

Theo giả thiết $A$ là hình vuông nên $AB=BC=CD=DA$  (2) (tính chất hình vuông)

Mà: $AH=AD-DH,BE=AB-AE,\; C$$F=BC-BF,DG=DC-CG$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AH=BE=CF=DG$

Suy ra $\Delta AEH=\Delta BFE=\Delta CGF$$=∆DHG$ (hai cạnh góc vuông)

Do đó

$\widehat{EHA}=\widehat{FEB}$ (4) (hai góc tương ứng bằng nhau)
HE=EF=FG=GH ( các cạnh tương ứng)
$\Rightarrow$ Tứ giác EFGH là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Xét tam giác AHE vuông tại A nên $\widehat{HEA}+\widehat{EHA}={90}^{\circ }$
Ta có:
$\widehat{HEF}+\widehat{HEA}+\widehat{FEB}={180}^0$
Kết hợp với (4) và (5), ta có:
$$\begin{gathered} \widehat{HEF}={180}^{\circ }-(\widehat{HEA}+\widehat{FEB}) \\ ={180}^{\circ }-(\widehat{HEA}+\widehat{EHA}) \\ ={180}^{\circ }-{90}^0={90}^{\circ } \end{gathered}$$
$\Rightarrow$ Hình thoi EFGH là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)