Đề bài

 Cho tam giác $AB$, $D$ là điểm nằm giữa $B$ và $C.$ Qua $D$ kẻ các đường thẳng song song với $AB$ và $AC$, chúng cắt các cạnh $A$ và $AB$ theo thứ tự ở $E$ và $F.$

a) Tứ giác $A$ là hình gì ? Vì sao ?
b) Điểm $D$ ở vị trí nào trên cạnh $BC$ thì tứ giác $AEDF$ là hình thoi ?
c) Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì tứ giác $AEDF$ là hình gì ? Điểm $D$ ở vị trí nào trên cạnh $BC$ thì tứ giác $A$ là hình vuông ?

Lời giải chi tiết

a) Xét tứ giác $AEDF$ có:  

 $DE//AF,DF//AE$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ Tứ giác $AEDF$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

b) Hình bình hành AEDF là hình thoi thì AD là tia phân giác của $\widehat{CAB}.$

Do đó D là giao điểm của tia phân giác của $\widehat{CAB}$ với BC thì hình bình hành AEDF là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).
c) Nếu $\mathrm{△}ABC$ vuông tại A thì hình bình hành AEDF có một góc vuông do đó hình bình hành AEDF là hình chữ nhật ( theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Nếu $\mathrm{△}ABC$ vuông tại A và D là giao điểm của tia phân giác của $\widehat{CAB}$ với cạnh BC thì AEDF là hình vuông (vì khi đó AEDF là hình thoi có một góc vuông).