Chứng minh:

$$\begin{gathered} a. x^2-2xy+y^2+1>0 với mọi số thực x và y; \\ b. x-x^2-1<0 với mọi số thực x; \end{gathered}$$

Giải:

$$\begin{gathered} a. x^2-2xy+y^2+1>0 với mọi số thực x và y \\ Ta có x^2-2xy+y^2+1=(x^2-2xy+y^2)+1 \\ ={(x-y)}^2+1>0 \\ Do{(x-y)}^2\ge 0 với mọi x, y. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b. x-x^2-1<0 với mọi số thực x \\ Ta có x-x^2-1=-(x^2-x+1) \\ =-[x^2-2.x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}] \\ =-[x^2-2x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2]-\frac{3}{4} \\ =-{(x-\frac{1}{2})}^2-\frac{3}{4}<0với mọi x \\ Do {(x-\frac{1}{2})}^2 \ge 0nên -{(x-\frac{1}{2})}^2 \le 0 \end{gathered}$$