Đề bài

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

Lời giải chi tiết

Giả sử hình chữ nhật ABCD có E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA
Bốn tam giác vuông EAH, EBF, GDH, GCF có:
$$\begin{gathered} AE=BE=DG=CG(=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD) \\ HA=FB=DH=CF(=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC) \end{gathered}$$
Xét $\mathrm{\Delta }EAH$ và $\mathrm{\Delta }EBF$ có:
$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}A\mathrm{E}=BE(cmt)\\ \widehat{A}=\widehat{B}={90}^0(gt)\\ AH=BF(cmt)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }AHE=\mathrm{\Delta }BEF(c-g-c) \\ \Rightarrow EH=EF(2cạnh tương ứng)\left(1\right) \end{gathered}$$
Xét $\mathrm{\Delta }HDG$ và $\mathrm{\Delta }FCG$ có:
$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}H\mathrm{D}=FC(cmt)\\ \widehat{D}=\widehat{C}={90}^0(gt)\\ DG=CG(cmt)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }HDG=\mathrm{\Delta }FCG(c-g-c) \\ \Rightarrow GH=GF(2cạnh tương ứng)\left(2\right) \end{gathered}$$
Xét $\mathrm{△}AHE$ và $\mathrm{\Delta }DHG$ có:
$\left\{\begin{array}{l}H\mathrm{A}=HD(cmt)\\ \widehat{A}=\widehat{D}={90}^0(gt)\\ AE=DG(cmt)\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{\Delta }AHE=\mathrm{\Delta }DHG(c-g-c) \\ \Rightarrow EH=HG(2 cạnh tương ứng) \\ Từ\left(1\right),\left(2\right) và\mathrm{ }\left(3\right)\Rightarrow HE=EF=HG=GF \end{gathered}$$

$\Rightarrow$$EFGH$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

(Trong đó: "cmt" là chứng minh trên) 

Cách khác:

* Xét tam giác $ABD$ có $E$ và $H$ lần lượt là trung điểm của $A$ và $A$

Suy ra $E$ là đường trung bình của tam giác

Từ đó $H=\frac{BD}{2}({}^{*})$
Chứng minh tương tự ta có: $GF=\frac{BD}{2},EF=\frac{AC}{2},$ $HG=\frac{AC}{2}({}^{**})$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC=BD$ (***) (tính chất)

Từ (*), (**), (***) ta suy ra $EH=EF=H\mathrm{G=GF}$

$\Rightarrow$$EFGH$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).