Đề bài

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Xét hình thoi $ABCD$, gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,AD$.
Ta có: $EB=EA,FB=FC$ (giả thiết )

nên $EF$ là đường trung bình của $∆ABC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow EF//AC,EF=\frac{AC}{2}$ (tính chất đường trung bình của tam giác)
Do HD=HA, GD=GC (giả thiết )
$\Rightarrow HG$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }ADC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )
$\Rightarrow HG//AC,HG=\frac{AC}{2}$ (tính chất đường trung bình của tam giác)
$\Rightarrow EF//HG$ (cùng // AC) và $EF=HG(=\frac{AC}{2})$
Suy ra EFGH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: EB=EA, AH=HD (giả thiết)
nên EH là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }ABD$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )
$\Rightarrow EH//BD$ (tính chất đường trung bình của tam giác)
Ta có EF//AC (chứng minh trên) và $BD⟂AC$ (tính chất hình thoi ABCD)
$\Rightarrow BD⟂EF$
Mà EH//BD (chứng minh trên)

$$\begin{gathered} \Rightarrow EF⟂EH \\ \Rightarrow \widehat{FEH}={90}^0 \end{gathered}$$
Hình bình hành EFGH có $\widehat{E}={90}^{\circ }$ nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)