Đề bài
Cho góc xOy có số đo ${50}^{\circ }$, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy.
a) So sánh các độ dài OB và OC.
b) Tính số đo góc BOC.

Lời giải chi tiết 

a) Vì $B$ đối xứng với $A$ qua $Ox$ (giả thiết)

$\Rightarrow Ox$ là đường trung trực của $AB$

$\Rightarrow OA=OB$ (tính chất đường trung trực)  (1)

Vì $C$ đối xứng với $A$ qua $Oy$ $\Rightarrow Oy$ là đường trung trực của $AC$

$\Rightarrow OA=OC$ (tính chất đường trung trực)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OB=OC.$

b) Vì OA=OB (chứng minh trên) $\Rightarrow \mathrm{\Delta }AOB$ cân tại O (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Trong tam giác cân đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường phân giác nên Ox là phân giác của $\widehat{AOB}.$
$\Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$
Lại có $\mathrm{\Delta }AOC$ cân tại O (vì OA=OC)
Trong tam giác cân đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường phân giác nên Oy là phân giác của $\widehat{AOC}.$
$\Rightarrow \widehat{O_3}=\widehat{O_4}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}$
Do đó
$$\begin{gathered} \widehat{AOB}+\widehat{AOC}=\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}+\widehat{O_4}=\widehat{O_1}+\widehat{O_1}+\widehat{O_3}+\widehat{O_3} \\ =2.\widehat{O_1}+2.\widehat{O_3}=2(\widehat{O_1}+\widehat{O_3})=2\widehat{xOy}={2.50}^{\circ }={100}^{\circ } \\ Vậy \widehat{BOC}={100}^{\circ } \end{gathered}$$