Đề bài
Dựng hình thang cân ABCD, biết đáy CD=3, đường chéo $C=4\mathrm{cm},\widehat{D}={80}^{\circ }.$

Lời giải chi tiết

a) Phân tích
Giả sử dựng được hình thang ABCD theo yêu cầu đề bài.
Ta dựng được đoạn thẳng $D=3\mathrm{cm}.$
Điểm A phải thỏa mãn hai điều kiện:
+) Tia DA tạo với DC một góc bằng ${80}^{\circ }.$
+) CA=4cm nên A thuộc cung tròn tâm C bán kính 4cm.
ABCD là hình thang nên AB//CD
Hình thang ABCD cân nên $\widehat{BCD}=\widehat{D}={80}^{\circ }$
Vì vậy điểm B phải thỏa mãn 2 điều kiện:
+) B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.
+ Tia CB tạo với CD một góc ${80}^{\circ }.$
b) Cách dựng
- Dựng $\widehat{xDy}={80}^{\circ }$. Trên tia Dx dựng đoạn thẳng $C=3\mathrm{cm}.$
- Dựng cung tròn tâm C bán kính 4cm cắt tia Dy tại A.
- Dựng tia At song song với tia Dx
- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ DC chứa A dựng tia CB sao cho tia CB tạo với CD một góc ${80}^{\circ }$ và cắt tia At tại B.
- Hình thang ABCD là hình thang cần dựng.

c) Chứng minh
Theo cách dựng ta có AB//CD và AC=4cm; DC=3cm; $\widehat{BCD}=\widehat{D}={80}^{\circ }$

Suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân thỏa mãn điều kiện bài toán.
d) Biện luận
Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện đề bài.