Vận dụng 2 (Trang 75 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2)

Vận dụng 2 (Trang 75 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều 3 cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó. Hướng dẫn giải <img class="wscnph" style="max-width: 100%; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/03102022/van-dund-2-trand-75-toan-7-tap-2-147885-pNVF2h.png" width="217" height="220" /> Giả sử tam giác ABC là tam giác đều có M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC và G là trọng tâm của tam giác. Khi đó A, G, P thẳng hàng; B, G, N thẳng hàng; C, G, M thẳng hàng. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math>ABC đều <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> AB = BC = CA và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>B</mi><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math>   Xét <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mo>∆</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>C</mi><mo>,</mo></math> có: AB = AC (cmt) AP chung PB = PC (do P là trung điểm của BC) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mo>∆</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>∆</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>C</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>c</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> (2 góc tương ứng) Mà <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo> </mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>180</mn><mo>°</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>90</mn><mo>°</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⊥</mo><mo> </mo><mi>B</mi><mi>C</mi><mo> </mo><mi>h</mi><mi>a</mi><mi>y</mi><mo> </mo><mi>G</mi><mi>P</mi><mo> </mo><mo>⊥</mo><mo> </mo><mi>B</mi><mi>C</mi></math>.   Khi đó GP là khoảng cách từ G đến BC. Tương tự ta có GM, GN lần lượt là khoảng cách từ G đến AC, AC. Do M là trung điểm của AB nên MB <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>.</mo></math> Do N là trung điểm của AC nên NC = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>A</mi><mi>C</mi><mo>.</mo></math> Mà AB = AC nên MB = NC. Xét <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo><mi>M</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mo>∆</mo><mi>N</mi><mi>C</mi><mi>B</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mi>ó</mi><mo>:</mo></math> MB = NC (cmt) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>M</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>N</mi><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>(</mo><mi>c</mi><mi>m</mi><mi>t</mi><mo>)</mo></math> BC chung. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mo>∆</mo><mi>M</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>∆</mo><mi>N</mi><mi>C</mi><mi>B</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>c</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi>g</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mo>)</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>C</mi><mi>M</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>B</mi><mi>N</mi><mo> </mo></math>(2 cạnh tương ứng)   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>:</mo><mo> </mo><mi>G</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>ọ</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mo> </mo><mi>t</mi><mi>â</mi><mi>m</mi><mo> </mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>C</mi><mi>G</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>C</mi><mi>M</mi><mo> </mo></math>và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>G</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>B</mi><mi>N</mi></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi>G</mi><mi>M</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>C</mi><mi>M</mi><mo>;</mo><mo> </mo><mi>G</mi><mi>N</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi>B</mi><mi>N</mi><mo>.</mo></math> Mà CM = BN nên GM = GN. Chứng minh tương tự ta có GM = GN = GP. Khi đó trọng tâm G của tam giác đều ABC cách đều ba cạnh của tam giác. Vậy trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.

Xem lời giải bài tập khác cùng bài

Câu hỏi (Trang 72 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2)

Xem lời giải

Hoạt động (Trang 72 - 73 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2)

Xem lời giải

Luyện tập 1 (Trang 73 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2)

Xem lời giải

Vận dụng 1 (Trang 74 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2)

Xem lời giải

Câu hỏi (Trang 74 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2)

Xem lời giải

Hoạt động (Trang 74 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2)