Bài 3 (Trang 107 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:

a) GA = GD;

b) $∆$MBG = $∆$MCD;

c) CD = 2GN.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC $\Rightarrow$ GM $= \frac{1}{2}$GA.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG nên M là trung điểm của GD $\Rightarrow$ GM = $\frac{1}{2}$GD

Vậy GA = GD.

b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.

Xét ∆MBG và ∆MCD có:

MB = MC (theo giả thiết).

$\widehat{GMB} = \widehat{DMC}$ 

(2 góc đối đỉnh).

MG = MD (chứng minh trên).

Do đó ∆MBG = ∆MCD (c - g - c).

c) Do ∆MBG = ∆MCD (c - g - c) nên CD = BG (2 cạnh tương ứng).

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.

Mà CD = BG nên CD = 2GN.