Bài toán cổ:

Bác kia chăn vịt khác thường

Buộc đi cho được chẵn hàng mới ưa

Hàng 2 xếp thấy chưa vừa

Hàng 3 xếp vẫn còn thừa một con

Hàng 4 xếp vẫn chưa tròn

Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy

Xếp thành hàng 7, đẹp thay

Vịt bao nhiêu? Tính được ngay mới tài

(Biết số vịt chưa đến 200 con)

Giải:

Giả sử có a còn vịt.

Theo các dữ kiện đề bài cho:

Hàng 2 xếp vẫn chưa vừa nghĩa là a là số lẻ $\Rightarrow a+1⋮2$ (1)

Hàng 3 xếp vẫn còn thừa một con nghĩa là $\left(a-1\right)⋮3$ (2)

Hàng 5 xếp thiếu 1 con mới đầy nghĩa là $\left(a+1\right)⋮5$ (3)

Xếp thành hàng 7 đẹp thay nghĩa là $a⋮7$ (4)

Số vịt chưa đến 200 còn nghĩa là a < 200.

Từ (1) và (3) suy ra $\left(a+1\right)\in BC\left(2; 5\right)=B\left(10\right)=\left\{0; 10; 20; 30; 40;...\right\}$

$a⋮7$ nên a + 1 chia 7 dư 1

Các số là bội của 10, chia 7 dư 1 là 50; 120; 190; 260;...

Mà $a+1\le 200$ nên a + 1 = 50; 120 hoặc 190.

- Trường hợp 1: a + 1 = 50 thì a = 49 $⋮$7 (t/m(4))

a - 1 = 48 $⋮$ 3 (t/m(2)).

Vậy a = 49 thỏa mãn

- Trường hợp 2: a + 1 = 120

Suy ra a = 119, suy ra a - 1 = 118 $\cancel{⋮}$ 3 (không thỏa mãn (2)) (Loại).

- Trường hợp 3: a + 1 = 190

Suy ra a = 189, suy ra a - 1 = 188 $\cancel{⋮}$ 3 (không thỏa mãn (2)) (Loại).

Vậy số vịt là 49 con.