Bài 2: Hàm số lũy thừa
<div style="text-align: center;"> </div>
Lý thuyết Hàm số lũy thừa
<p><strong>1. Khái niệm hàm số lũy thừa</strong></p>
<p>Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mi>α</mi></msup></math>, trong đó <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> là một hằng số tùy ý. Từ định nghĩa các lũy thừa, ta thấy:</p>
<ul>
<li>Hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup></math> với n nguyên dương, xác định với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℝ</mi></math>.</li>
<li>Hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup></math>, với n nguyên âm hoặc n=0, xác định với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℝ</mi><mo>\</mo><mfenced open="{" close="}"><mn>0</mn></mfenced></math>.</li>
<li>Hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mi>α</mi></msup></math>, với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> không nguyên, có tập xác định là tập các số thực dương <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>;</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></mrow></mfenced></math>.</li>
</ul>
<p>Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.</p>
<p>*Chú ý: </p>
<p>Theo định nghĩa, đẳng thức <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mroot><mi>x</mi><mi>n</mi></mroot><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac></msup></math> chỉ xảy ra nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> do đó, hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac></msup></math> không đồng nhất</p>
<p>với hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mroot><mi>x</mi><mi>n</mi></mroot><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℕ</mi><mo>*</mo><mo>)</mo></math>. Chẳng hạn, hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mroot><mi>x</mi><mn>3</mn></mroot></math> là hàm số căn bậc 3, xác định với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℝ</mi></math>,</p>
<p>còn hàm số lũy thừa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></math> chỉ xác định trên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>;</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></mrow></mfenced></math>.</p>
<p><strong>2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa</strong></p>
<p><strong>a) Định lý</strong></p>
<p>Hàm số lũy thừa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mi>α</mi></msup><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℝ</mi><mo>)</mo></math> có đạo hàm tại mọi điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><msup><mi>x</mi><mi>α</mi></msup></mfenced><mo>'</mo><mo>=</mo><mi>α</mi><msup><mi>x</mi><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math>.</p>
<p>Nếu hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>=</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> nhận giá trị dương và có đạo hàm trên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>J</mi></math> thì hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mi>u</mi><mi>α</mi></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> cũng có đạo</p>
<p>hàm trên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>J</mi></math> và<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><msup><mi>u</mi><mi>α</mi></msup><mfenced><mi>x</mi></mfenced></mrow></mfenced><mo>'</mo><mo>=</mo><mi>α</mi><msup><mi>u</mi><mrow><mi>α</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo><mi>u</mi><mo>'</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math></p>
<p><strong>b) Lưu ý</strong></p>
<p>Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây:</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mroot><mi>x</mi><mi>n</mi></mroot></mfenced><mo>'</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>n</mi><mroot><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>n</mi></mroot></mrow></mfrac></math> (với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> nếu n chẵn, với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></math> nếu n lẻ)</p>
<p>Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>=</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> là hàm số có đạo hàm trên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>J</mi></math> và thỏa mãn điều kiện <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn></math> với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>J</mi></math> khi n chẵn,</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≠</mo><mn>0</mn></math> với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>J</mi></math> khi n lẻ thì:</p>
<p style="text-align: left;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mroot><mrow><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mi>n</mi></mroot></mfenced><mo>'</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>u</mi><mo>'</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mroot><mrow><msup><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mi>n</mi></mroot></mrow></mfrac><mo>(</mo><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>J</mi><mo>)</mo></math></p>
<p><em>Nhận xét:</em> Do <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>1</mn><mi>α</mi></msup><mo>=</mo><mn>1</mn></math> với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> nên đồ thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm (1,1).</p>
<p><strong>3. Khảo sát hàm số lũy thừa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mi>α</mi></msup></math></strong></p>
<p>Tập xác định của hàm số lũy thừa luôn chứa khoảng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo><mo>)</mo></math> với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℝ</mi></math>.</p>
<p style="text-align: left;">Trong trường hợp tổng quát ta khảo sát hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mi>α</mi></msup></math> trên khoảng này, ta được bảng tóm tắt sau:<img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/17022022/screenshot-186-kAiBZh.png" /></p>
<p>Hình dạng của đồ thị hàm số lũy thừa trong các trường hợp xét trên tập <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>;</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></mrow></mfenced></math>:<img class="wscnph" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/17022022/screenshot-187-fq4ITH.png" width="375" height="249" /></p>
<p>Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó</p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Hoạt động 1 (Trang 57 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Hoạt động 2 (Trang 57 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Hoạt động 3 (Trang 58 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 60 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 61 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 61 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 61 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 61 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải