1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng $y=x^{\alpha }$, trong đó $\alpha$ là một hằng số tùy ý. Từ định nghĩa các lũy thừa, ta thấy:

• Hàm số $y=x^n$ với n nguyên dương, xác định với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$.
• Hàm số $y=x^n$, với n nguyên âm hoặc n=0, xác định với mọi $x\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{0\right\}$.
• Hàm số $y=x^{\alpha }$, với $\alpha$ không nguyên, có tập xác định là tập các số thực dương $\left(0;+\infty \right)$.

Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.

*Chú ý: 

Theo định nghĩa, đẳng thức $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ chỉ xảy ra nếu $x>0$ do đó, hàm số $y=x^{\frac{1}{n}}$ không đồng nhất

với hàm số $y=\sqrt[n]{x}(n\in \mathrm{\mathbb{N}}*)$. Chẳng hạn, hàm số $y=\sqrt[3]{x}$ là hàm số căn bậc 3, xác định với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$,

còn hàm số lũy thừa $y=x^{\frac{1}{3}}$ chỉ xác định trên $\left(0;+\infty \right)$.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa

a) Định lý

Hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }(\alpha \in \mathrm{ℝ})$ có đạo hàm tại mọi điểm $\alpha >0$ và $\left(x^{\alpha }\right)\text{'}=\alpha x^{\alpha -1}$.

Nếu hàm số $u=u\left(x\right)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm trên $J$ thì hàm số $y=u^{\alpha }\left(x\right)$ cũng có đạo

hàm trên $J$ và$\left(u^{\alpha }\left(x\right)\right)\text{'}=\alpha u^{\alpha -1}\left(x\right).u\text{'}\left(x\right)$

b) Lưu ý

Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây:

 $\left(\sqrt[n]{x}\right)\text{'}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ (với mọi $x>0$ nếu n chẵn, với mọi $x\ne 0$ nếu n lẻ)

Nếu $u=u\left(x\right)$ là hàm số có đạo hàm trên $J$ và thỏa mãn điều kiện $u\left(x\right)>0$ với mọi $x\in J$ khi n chẵn,

 $u\left(x\right)\ne 0$ với mọi $x\in J$ khi n lẻ thì:

$\left(\sqrt[n]{u\left(x\right)}\right)\text{'}=\frac{u\text{'}\left(x\right)}{n\sqrt[n]{u^{n-1}\left(x\right)}}(\forall x\in J)$

Nhận xét: Do $1^{\alpha }=1$ với mọi $\alpha$ nên đồ thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm (1,1).

3. Khảo sát hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }$

Tập xác định của hàm số lũy thừa luôn chứa khoảng $(0;+\infty )$ với mọi $\alpha \in \mathrm{ℝ}$.

Trong trường hợp tổng quát ta khảo sát hàm số $y=x^{\alpha }$ trên khoảng này, ta được bảng tóm tắt sau:

Hình dạng của đồ thị hàm số lũy thừa trong các trường hợp xét trên tập $\left(0;+\infty \right)$:

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó