Bài 4 (Trang 121 SGK Toán Giải tích 12):

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

a) $y=1-x^2,y=0$;

b) $y=\cos x, y=0, x=0, x=\mathrm{\pi };$

c) $y=\tan x, y=0, x=0, x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}.$

Hướng dẫn giải:

a) Giao điểm của hai đường $y=1-x^2 và y=0 là 1-x^2=0 \iff x=\pm 1$

Vậy $\mathrm{V} = \mathrm{\pi }{\int }_{-1}^1{(1-{\mathrm{x}}^2)}^2\mathrm{dx} = \mathrm{\pi }{\int }_{-1}^1(1-2{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^4)\mathrm{dx} = \mathrm{\pi }(\mathrm{x}-\frac{2}{3}{\mathrm{x}}^3+\frac{{\mathrm{x}}^5}{5}){|}_{-1}^1 = \frac{16}{15\mathrm{\pi }}$ (đvtt).

b) Thể tích cần tìm là:

$\mathrm{V} = \mathrm{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\pi }}{\cos }^2\mathrm{xdx} = \frac{\mathrm{\pi }}{2}{\int }_0^{\mathrm{\pi }}(1+\cos 2\mathrm{x})\mathrm{dx} = \frac{\mathrm{\pi }}{2}(\mathrm{x}+\frac{1}{2}\sin 2\mathrm{x}) {|}_0^{\mathrm{\pi }} = \frac{{\mathrm{\pi }}^2}{2}$

c) Thể tích cần tìm là:

$\mathrm{V} = \mathrm{\pi }{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\tan }^2\mathrm{xdx} = \mathrm{\pi }{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}(\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}-1)\mathrm{dx} = \mathrm{\pi }(\mathrm{tanx}-\mathrm{x}){|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}} = \mathrm{\pi }(1-\frac{\mathrm{\pi }}{4})$ (đvtt).