Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học
Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 121 SGK Toán Giải tích 12)
<p><strong>Bài 4 (Trang 121 SGK Toán Giải tích 12):</strong></p>
<p>Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:</p>
<p>a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>;</p>
<p>b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>;</mo></math></p>
<p>c) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>.</mo></math></p>
<p><em><strong>Hướng dẫn giải:</strong></em></p>
<p>a) Giao điểm của hai đường <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mi>l</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>±</mo><mn>1</mn></math></p>
<p>Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">V</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">π</mi><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></msubsup><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mi>dx</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">π</mi><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></msubsup><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mn>4</mn></msup><mo>)</mo><mi>dx</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>-</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mfrac><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mn>5</mn></msup><mn>5</mn></mfrac><mo>)</mo><msubsup><mo>|</mo><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></msubsup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>16</mn><mrow><mn>15</mn><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></mfrac></math> (đvtt).</p>
<p>b) Thể tích cần tìm là:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">V</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">π</mi><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi mathvariant="normal">π</mi></msubsup><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>xdx</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>2</mn></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi mathvariant="normal">π</mi></msubsup><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mi>dx</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>sin</mi><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><msubsup><mo>|</mo><mn>0</mn><mi mathvariant="normal">π</mi></msubsup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><msup><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn></mfrac></math></p>
<p>c) Thể tích cần tìm là:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">V</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">π</mi><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac></msubsup><msup><mi>tan</mi><mn>2</mn></msup><mi>xdx</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">π</mi><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac></msubsup><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></mfrac><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>dx</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>(</mo><mi>tanx</mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo><msubsup><mo>|</mo><mn>0</mn><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac></msubsup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>)</mo></math> (đvtt).</p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài