Bài 1 (Trang 121 SGK Toán Giải tích 12):

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) $y=x^2, y=x+2$;

b) $y=\left|\ln x\right|, y=1$;

c) $y={(x-6)}^2, y=6x-x^2$.

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:

$x^2=x+2 \iff x^2-x-2=0\iff {[}_{x=2}^{x=-1}$

Diện tích hình phẳng đã cho là

$\mathrm{S}={\int }_{-1}^2\left|{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2\right|\mathrm{dx}=\left|{\int }_{-1}^2({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2)\mathrm{dx}\right|={\left|(\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}-2\mathrm{x})\right|}_{-1}^2=\frac{9}{2}$ (đvdt)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là

$\left|\ln \mathrm{x}\right|=1\iff [\begin{array}{l}\ln \mathrm{x} = 1\\ \ln \mathrm{x} = -1\end{array} \iff [\begin{array}{l}\mathrm{x} = \mathrm{e}\\ \mathrm{x} = \frac{1}{\mathrm{e}}\end{array}$

$\mathrm{S}={\int }_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}\left|1-\left|\mathrm{lnx}\right|\right|\mathrm{dx}={\int }_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^1(1+\mathrm{lnx})\mathrm{dx}+{\int }_1^{\mathrm{e}}(1-\mathrm{lnx})\mathrm{dx}$

Tính $\int \mathrm{lnxdx}$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ dv=dx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{dx}{x}\\ v=x\end{array}\right.\right.$

Suy ra $\int \ln xdx=x\ln x-\int dx =x\ln x-x+C$

Vậy một nguyên hàm của y = lnx là $F\left(x\right)=x\ln x-x$

Do đó $S=x\ln x{|}_{\frac{1}{e}}^1 +(2x-x\ln x){|}_1^e=\frac{1}{e}+2e-e-2=\frac{1}{e}+e-2$ (đvdt)

c) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:

           ${(x-6)}^2=6x-x^2\iff x^2-9x+18=0\iff {[}_{x=6}^{x=3}$

Vậy $\mathrm{S}={\int }_3^6\left|{(\mathrm{x}-6)}^2-(6\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2)\right|\mathrm{dx}=\left|{\int }_3^{6}2({\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+18)\mathrm{dx}\right|=9$ (đvdt).