Bài 3 (Trang 121 SGK Toán Giải tích 12):

Parapol $y=\frac{x^2}{2}$ chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính $2\sqrt{2}$ thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.

Hướng dẫn giải:

Phương trình đường tròn tâm O bán kính $2\sqrt{2}$ là: (C): $x^2+y^2=8$. Tung độ giao điểm của (C) và (P) là:

${\mathrm{y}}^2+2\mathrm{y}-8=0 \iff [\begin{array}{l}\mathrm{y} = -4 \left(\mathrm{loại}\right)\\ \mathrm{y} = 2\end{array}$

$\mathrm{y} = 2 \iff \mathrm{x} = \pm 2$

Gọi S₁ là diện tích giới hạn bởi (C) và (P) ở phía trên trục hoành.

Ta có ${\mathrm{S}}_1 = 2{\int }_0^2(\sqrt{8-{\mathrm{x}}^2}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}})\mathrm{dx} = 2{\int }_0^2\sqrt{8-{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx}-\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}{|}_0^2 = 2{\int }_0^2\sqrt{8-{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx}-\frac{8}{3}$

Đặt $\mathrm{x} = 2\sqrt{2}\mathrm{sint} \Rightarrow \mathrm{dx} = 2\sqrt{2}\mathrm{costdt}$

Đổi cận:

Suy ra: ${\int }_0^2\sqrt{8-{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx} = {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\sqrt{8{\cos }^2\mathrm{t}}.2\sqrt{2}\mathrm{costdt} = 8{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\cos }^2\mathrm{tdt}$

$4{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}(1+\cos 2\mathrm{t})\mathrm{dt}=4(\mathrm{t}+\frac{1}{2}\sin 2\mathrm{t}) {|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}=4(\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\frac{1}{2})=\mathrm{\pi }+2$

Vậy ${\mathrm{S}}_1=2\mathrm{\pi }+4-\frac{8}{3}=2\mathrm{\pi }+\frac{4}{3}=\frac{6\mathrm{\pi }+4}{3}$

       $S_2=8\mathrm{\pi }-{\mathrm{S}}_1=6\mathrm{\pi }-\frac{4}{3}=\frac{18\mathrm{\pi }-4}{3}$

Vậy $\frac{{\mathrm{S}}_2}{{\mathrm{S}}_1}=\frac{18\mathrm{\pi }-4}{6\mathrm{\pi }+4}=\frac{9\mathrm{\pi }-2}{3\mathrm{\pi }+2}$.