Bài 5 (Trang 121 SGK Toán Giải tích 12):

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt $\widehat{\mathrm{POM}} = \mathrm{a}$, OM = R $\left(0⩽\alpha ⩽\frac{\mathrm{\pi }}{3}, R>0\right)$.

Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (H.63).

a) Tính thể tích của V theo $\alpha$ và R.

b) Tìm $\alpha$ sao cho thể tích của V lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có OP = OM.cos a = R.cos a

PM = OM.sin a = R.sin a

=> M(Rcos a;Rsina)

Phương trình đường thẳng OM: $\mathrm{y} = \left(\mathrm{tan\alpha }\right).\mathrm{x}$

Thể tích của V là: $\mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_0^{\mathrm{Rcos\alpha }}{\mathrm{x}}^2{\tan }^2\mathrm{\alpha dx} = {\mathrm{\pi tan}}^2\mathrm{\alpha }.\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}{|}_0^{\mathrm{Rcos\alpha }} = \frac{{\mathrm{\pi R}}^3}{3}(\mathrm{cos\alpha }-{\cos }^3\mathrm{\alpha })$

b) Đặt $\mathrm{t} = \mathrm{cos\alpha } \Rightarrow \mathrm{t}\in \left[\frac{1}{2};1\right] \mathrm{vì} (\mathrm{\alpha }\in \left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right])$, ta có $\mathrm{V} = \frac{{\mathrm{\pi R}}^3}{3}(\mathrm{t}-{\mathrm{t}}^3);$

$\mathrm{V}=\frac{{\mathrm{\pi R}}^3}{3}(1-3{\mathrm{t}}^2); \mathrm{V}\text{'}=0\iff {[}_{\mathrm{t}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\mathrm{loại}\right)}^{\mathrm{t}=\frac{1}{\sqrt{3}}}$

Vậy $\mathrm{maxV}\left(\mathrm{\alpha }\right) = \mathrm{maxV}\left(\mathrm{t}\right) = {\mathrm{V}}_{\mathrm{CĐ}} (\mathrm{t} = \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{2\sqrt{3}{\mathrm{\pi R}}^3}{27}.$

(trong đó $\mathrm{cos\alpha }=\frac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{hay} \mathrm{\alpha }=\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}$).