Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học
Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 121 SGK Toán Giải tích 12)
<p><strong>Bài 5 (Trang 121 SGK Toán Giải tích 12):</strong></p>
<p>Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>POM</mi><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">a</mi></math>, OM = R <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>⩽</mo><mi>α</mi><mo>⩽</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>3</mn></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>R</mi><mo>></mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math>.</p>
<p>Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (H.63).</p>
<p>a) Tính thể tích của V theo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> và R.</p>
<p>b) Tìm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> sao cho thể tích của V lớn nhất.</p>
<p><img src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/18022022/bai-5-xOD4Vv.png" alt="" width="520" height="410" /></p>
<p><strong><span style="text-decoration: underline;"><em>Hướng dẫn giải:</em></span></strong></p>
<p>a) Ta có OP = OM.cos a = R.cos a</p>
<p>PM = OM.sin a = R.sin a</p>
<p>=> M(Rcos a;Rsina)</p>
<p>Phương trình đường thẳng OM: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">y</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mi>tanα</mi><mo>)</mo><mo>.</mo><mi mathvariant="normal">x</mi></math></p>
<p>Thể tích của V là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">V</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">π</mi><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi>Rcosα</mi></msubsup><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>tan</mi><mn>2</mn></msup><mi>αdx</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msup><mi>πtan</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">α</mi><mo>.</mo><mfrac><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mn>3</mn></msup><mn>3</mn></mfrac><msubsup><mo>|</mo><mn>0</mn><mi>Rcosα</mi></msubsup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><msup><mi>πR</mi><mn>3</mn></msup><mn>3</mn></mfrac><mo>(</mo><mi>cosα</mi><mo>-</mo><msup><mi>cos</mi><mn>3</mn></msup><mi mathvariant="normal">α</mi><mo>)</mo></math></p>
<p>b) Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">t</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>cosα</mi><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>;</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo> </mo><mi>vì</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]"><mrow><mn>0</mn><mo>;</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>3</mn></mfrac></mrow></mfenced><mo>)</mo></math>, ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">V</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><msup><mi>πR</mi><mn>3</mn></msup><mn>3</mn></mfrac><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>-</mo><msup><mi mathvariant="normal">t</mi><mn>3</mn></msup><mo>)</mo><mo>;</mo></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">V</mi><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>πR</mi><mn>3</mn></msup><mn>3</mn></mfrac><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>3</mn><msup><mi mathvariant="normal">t</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo><mo>;</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">V</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mo> </mo><msubsup><mo>[</mo><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo>(</mo><mi>loại</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac></mrow></msubsup></math></p>
<p>Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>maxV</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>maxV</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mi>CĐ</mi></msub><mo> </mo><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo>)</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><msup><mi>πR</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mn>27</mn></mfrac><mo>.</mo></math></p>
<p>(trong đó <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>cosα</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo> </mo><mi>hay</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi><mo>=</mo><mi>arccos</mi><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac></math>).</p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài