Bài 3. Nhị thức Niu - Tơn
Lý thuyết Nhị thức Niu - Tơn
<p><strong>I. Công thức nhị thức Niu - Tơn</strong></p>
<p><strong>1. Công thức nhị thức Niu - Tơn</strong></p>
<p>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi></math> là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></math>, ta có:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mi>n</mi></msup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>n</mi></msubsup><msup><mi>b</mi><mi>n</mi></msup><mo> </mo><mo> </mo><mfenced><mn>1</mn></mfenced></math></p>
<p><strong>Ví dụ:</strong></p>
<p>Viết khai triển <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>5</mn></msup></math>.</p>
<p><strong>Hướng dẫn:</strong></p>
<p>Ta có:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>5</mn></msup><mspace linebreak="newline"/><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>5</mn><mn>0</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>5</mn><mn>1</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mn>4</mn></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>5</mn><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>5</mn><mn>3</mn></msubsup><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>5</mn><mn>4</mn></msubsup><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mn>5</mn><mn>5</mn></msubsup><msup><mi>b</mi><mn>5</mn></msup><mspace linebreak="newline"/><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mn>5</mn><msup><mi>a</mi><mn>4</mn></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>10</mn><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>10</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>5</mn></msup></math></p>
<p><strong>2. Quy ước</strong></p>
<p>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> là số thực khác 0 và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> là số tự nhiên khác 0, ta quy ước:</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mn>0</mn></msup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo> </mo><msup><mi>a</mi><mrow><mo>-</mo><mi>n</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup></mfrac></math>.</p>
<p><strong>3. Chú ý</strong></p>
<p>Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math> đều khác 0, có thể viết công thức (1)</p>
<p>ở dạng sau đây:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mi>n</mi></msup><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mi>n</mi></munderover><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>k</mi></mrow></msup><msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mi>n</mi></munderover><msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup><msup><mi>b</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>k</mi></mrow></msup></math></p>
<p><em>Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng </em></p>
<p><em>khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.</em></p>
<p><strong>II. Tam giác Pa-xcan</strong></p>
<p><strong>1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng </strong></p>
<p><strong><img src="https://img.loigiaihay.com/picture/2021/1108/capture_1.PNG" width="622" height="388" /></strong></p>
<p><strong>2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan</strong></p>
<p>- Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng 1.</p>
<ul>
<li>Xét hai số ở cột <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math> và cột <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math>, đồng thời cùng thuộc dòng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mfenced><mrow><mi>k</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>, ta có: tổng của hai số này</li>
<li>bằng số đứng ở giao của cột <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math> và dòng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math>.</li>
</ul>
<p><strong>3. Tính chất của tam giác Pa-xcan</strong></p>
<p>Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:</p>
<p>a) Giao của dòng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> và cột <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup></math></p>
<p>b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></math></p>
<p>c) Các số ở dòng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> là các hệ số trong khai triển của nhị thức <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mi>n</mi></msup></math> (theo công thức nhị thức Niu - Tơn),</p>
<p>với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi></math> là hai số thực tùy ý.</p>
<p>Chẳng hạn, các số ở dòng 4 là các hệ số trong khai triển của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>4</mn></msup></math> (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) dưới đây:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mn>4</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>4</mn></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>6</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>a</mi><msup><mi>b</mi><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>4</mn></msup></math></p>
<p><br /><br /><br /></p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn giải Hoạt động 1 (Trang 55 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 2 (Trang 57 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 57 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 58 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 58 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 58 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 58 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 6 (Trang 58 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải