Bài 3. Nhị thức Niu - Tơn
Lý thuyết Nhị thức Niu - Tơn

I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

1. Công thức nhị thức Niu - Tơn

Với a,b là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên n1, ta có:

a+bn=Cn0an+Cn1an-1b+...+Cnn-1abn-1+Cnnbn  1

Ví dụ:

Viết khai triển a+b5.

Hướng dẫn:

Ta có:

a+b5=C50a5+C51a4b+C52a3b2+C53a2b3+C54ab4+C55b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

2. Quy ước

Với a là số thực khác 0 và n là số tự nhiên khác 0, ta quy ước:

                a0=1; a-n=1an.

3. Chú ý

Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện a và b đều khác 0, có thể viết công thức (1)

ở dạng sau đây:

a+bn=k=0nCnkan-kbk=k=0nakbn-k

Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng

khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.

II. Tam giác Pa-xcan

1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng 

2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan

- Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng 1.

  • Xét hai số ở cột k và cột k+1, đồng thời cùng thuộc dòng nk0; n1, ta có: tổng của hai số này
  • bằng số đứng ở giao của cột k+1 và dòng n+1.

3. Tính chất của tam giác Pa-xcan

Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:

a) Giao của dòng n và cột k là Cnk

b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:

Cnk+Cnk+1=Cn+1k+1

c) Các số ở dòng n là các hệ số trong khai triển của nhị thức a+bn (theo công thức nhị thức Niu - Tơn),

với a,b là hai số thực tùy ý.

Chẳng hạn, các số ở dòng 4 là các hệ số trong khai triển của a+b4 (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) dưới đây:

a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4




Xem lời giải bài tập khác cùng bài