I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

1. Công thức nhị thức Niu - Tơn

Với $a,b$ là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên $n\ge 1$, ta có:

${\left(a+b\right)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n \left(1\right)$

Ví dụ:

Viết khai triển ${\left(a+b\right)}^5$.

Hướng dẫn:

Ta có:

$$\begin{gathered} {\left(a+b\right)}^5 \\ =C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5 \\ =a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5 \end{gathered}$$

2. Quy ước

Với $a$ là số thực khác 0 và $n$ là số tự nhiên khác 0, ta quy ước:

                $a^0=1; a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

3. Chú ý

Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện $a$ và $b$ đều khác 0, có thể viết công thức (1)

ở dạng sau đây:

${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k=\sum _{k=0}^n{a}^k{b}^{n-k}$

Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng

khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.

II. Tam giác Pa-xcan

1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng 

2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan

- Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng 1.

• Xét hai số ở cột $k$ và cột $k+1$, đồng thời cùng thuộc dòng $n\left(k\ge 0; n\ge 1\right)$, ta có: tổng của hai số này
• bằng số đứng ở giao của cột $k+1$ và dòng $n+1$.

3. Tính chất của tam giác Pa-xcan

Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:

a) Giao của dòng $n$ và cột $k$ là $C_n^k$

b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:

$C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$

c) Các số ở dòng $n$ là các hệ số trong khai triển của nhị thức ${\left(a+b\right)}^n$ (theo công thức nhị thức Niu - Tơn),

với $a,b$ là hai số thực tùy ý.

Chẳng hạn, các số ở dòng 4 là các hệ số trong khai triển của ${\left(a+b\right)}^4$ (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) dưới đây:

${\left(a+b\right)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$