1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

  - Góc giữa hai véctơ trong không gian:

  Góc giữa hai vectơ (khác véctơ không) $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc $\widehat{BAC}$ với $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}; \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$

- Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: 

Cho hai vectơ khác vectơ không $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ :

Biểu thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ được gọi là tích vô hướng của hai vectơ  $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$

Nếu $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ hoặc $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ thì ta quy ước $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$

2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng. 

  - Vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu giá của $\overrightarrow{a}$ song song hoặc trùng với $d$.

  - Nếu $\overrightarrow{a}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ thì $k\overrightarrow{a}$ ($k\ne 0)$ cũng là vectơ chỉ phương của d.

 3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian. 

  Định nghĩa:

  Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a\text{'}$ và $b\text{'}$ cùng đi qua

một điểm và lần lượt song song với $a$ và $b$

  Nhận xét:

  - Ta có thể lấy điểm $O$ thuộc một trong hai đường thẳng $a$ và $b$, rồi vẽ một đường thẳng qua $O$ và song song

với đường thẳng còn lại.

  - Nếu $\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $a$ và $b$ và ($\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$)=$\alpha$ thì:

    + góc $\left(a;b\right)=\alpha$ nếu $0°\le \alpha \le 90°$

    + góc $\left(a;b\right)=180°-\alpha$ nếu $90°<\alpha ⩽180°$

- Nếu $a\parallel b$ hoặc $a\equiv b$ thì $\left(\widehat{a,b}\right)=0°$

4. Hai đường thẳng vuông góc với nhau.

  a) Định nghĩa:

  Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90°$

  b) Nhận xét:

  - Nếu $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ lần lượt là các VTCP của $a$ và $b$ thì: $a\perp b\iff \overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=0$

  - Nếu  $\left\{\begin{array}{l}a\parallel b\\ c\perp a\end{array}\right.$$$thì $c\perp b$

  - Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

 c) Một số dạng toán thường gặp 

Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng.

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cô sin hoặc tỉ số lượng giác.

Phương pháp 2: Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai đường thẳng biết hai véc tơ chỉ phương

của chúng.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng $d_1, d_2$ vuông góc ta thực hiện một trong các cách:

Cách 1: Chứng minh $\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=0$, trong đó $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ là các VTCP của $d_1, d_2$.

Cách 2: Sử dụng tính chất $\left\{\begin{array}{l}b\parallel c\\ a\perp c\end{array}\right.\Rightarrow a\perp b$

Cách 3: Sử dụng định lý Pi-ta-go hoặc xác định góc giữa $d_1, d_2$ và tính trực tiếp góc đó.