Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc
Lý thuyết hai đường thẳng vuông góc
<p><strong>1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.</strong></p>
<p> - Góc giữa hai véctơ trong không gian:</p>
<p> Góc giữa hai vectơ (khác véctơ không) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></math> là góc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>B</mi><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover><mo>;</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></math></p>
<p><img class="wscnph" style="max-width: 100%;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/27012023/imade-s5YFRP.jpg" width="341" height="278" /></p>
<p>- Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: </p>
<p>Cho hai vectơ khác vectơ không <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></math> :</p>
<p>Biểu thức <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover><mo>.</mo><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced open="|" close="|"><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>.</mo><mfenced open="|" close="|"><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>.</mo><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced></math> được gọi là tích vô hướng của hai vectơ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></math></p>
<p>Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mn>0</mn><mo>→</mo></mover></math> hoặc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mn>0</mn><mo>→</mo></mover></math> thì ta quy ước <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover><mo>.</mo><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover><mn>0</mn><mo>→</mo></mover></math></p>
<p><strong>2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng. </strong></p>
<p> - Vectơ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>≠</mo><mover><mn>0</mn><mo>→</mo></mover></math> là véctơ chỉ phương của đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math> nếu giá của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> song song hoặc trùng với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math>.</p>
<p> - Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> là vectơ chỉ phương của đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover></math> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math> cũng là vectơ chỉ phương của d.</p>
<p> <strong>3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian. </strong></p>
<p><strong> Định nghĩa:</strong></p>
<p> Góc giữa hai đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math> trong không gian là góc giữa hai đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>'</mo></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi><mo>'</mo></math> cùng đi qua</p>
<p>một điểm và lần lượt song song với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math></p>
<p><img class="wscnph" style="max-width: 100%;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/27012023/imade-1-t1XFk2.jpg" width="285" height="220" /></p>
<p> <strong> </strong><strong>Nhận xét:</strong></p>
<p> - Ta có thể lấy điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi></math> thuộc một trong hai đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math>, rồi vẽ một đường thẳng qua <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi></math> và song song</p>
<p>với đường thẳng còn lại.</p>
<p> - Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mo> </mo><mover><msub><mi>u</mi><mn>2</mn></msub><mo>→</mo></mover></math> lần lượt là vectơ chỉ phương của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math> và (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msub><mi>u</mi><mn>2</mn></msub><mo>→</mo></mover></math>)=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math><span id="MathJax-Element-37-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 21.78px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><msub><mi>u</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">&#x2192;</mo></mover></mrow><mo>,</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mover><msub><mi>u</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn>2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">&#x2192;</mo></mover></mrow><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo>&#x3B1;</mo></mrow></math>"><span id="MJXc-Node-293" class="mjx-math" aria-hidden="true"><span id="MJXc-Node-294" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-295" class="mjx-texatom"><span id="MJXc-Node-296" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-297" class="mjx-munderover"><span class="mjx-stack"><span class="mjx-over"><span id="MJXc-Node-303" class="mjx-mo"></span></span></span></span></span></span></span></span></span> thì:</p>
<p> + góc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>;</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>α</mi></math> nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo>°</mo><mo>≤</mo><mi>α</mi><mo>≤</mo><mn>90</mn><mo>°</mo></math></p>
<p> + góc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>;</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>-</mo><mi>α</mi></math> nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>90</mn><mo>°</mo><mo><</mo><mi>α</mi><mo>⩽</mo><mn>180</mn><mo>°</mo></math></p>
<p>- Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>∥</mo><mi>b</mi></math> hoặc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>≡</mo><mi>b</mi></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mover><mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>°</mo></math></p>
<p><strong>4. Hai đường thẳng vuông góc với nhau.</strong></p>
<p><strong> a) Định nghĩa:</strong></p>
<p> Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>90</mn><mo>°</mo></math></p>
<p> <strong>b) Nhận xét:</strong></p>
<p> - Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msub><mi>u</mi><mn>2</mn></msub><mo>→</mo></mover></math> lần lượt là các VTCP của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math> thì: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>⊥</mo><mi>b</mi><mo>⇔</mo><mover><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mo>→</mo></mover><mo>.</mo><mover><msub><mi>u</mi><mn>2</mn></msub><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></math></p>
<p> - Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>∥</mo><mi>b</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi><mo>⊥</mo><mi>a</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo></mrow></math>thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi><mo>⊥</mo><mi>b</mi></math></p>
<p> - Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.</p>
<p><strong> c) Một số dạng toán thường gặp </strong></p>
<p><strong>Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng.</strong></p>
<p><strong>Phương pháp 1:</strong> Sử dụng định lý hàm số cô sin hoặc tỉ số lượng giác.</p>
<div class="content_simple_notice_1">
<div class="notice_text">
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow></mfrac></math></p>
</div>
</div>
<p><strong>Phương pháp 2:</strong> Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai đường thẳng biết hai véc tơ chỉ phương</p>
<p>của chúng.</p>
<div class="content_simple_notice_1">
<div class="notice_text">
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>cos</mi><mo> </mo><mi>φ</mi><mo>=</mo><mfenced open="|" close="|"><mrow><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mfenced open="|" close="|"><mrow><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover><mo>.</mo><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mrow><mfenced open="|" close="|"><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>.</mo><mfenced open="|" close="|"><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></mfenced></mrow></mfrac></math></p>
</div>
</div>
<div class="content_simple_notice_1">
<div class="notice_text">
<p> *Để tính <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mfenced open="|" close="|"><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover></mfenced><mo>,</mo><mfenced open="|" close="|"><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></mfenced></math> ta chọn ba véc tơ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover></math> không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc</p>
<p>giữa chúng, sau đó biểu thị các véc tơ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>u</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mi>v</mi><mo>→</mo></mover></math> qua các véc tơ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mo> </mo><mover><mi>c</mi><mo>→</mo></mover></math> rồi thực hiện các tính toán.</p>
</div>
</div>
<p><strong>Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.</strong></p>
<p><strong>Phương pháp:</strong></p>
<p>Để chứng minh hai đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub></math> vuông góc ta thực hiện một trong các cách:</p>
<p><strong>Cách 1:</strong> Chứng minh <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mo>→</mo></mover><mo>.</mo><mover><msub><mi>u</mi><mn>2</mn></msub><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></math>, trong đó <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><msub><mi>u</mi><mn>1</mn></msub><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><msub><mi>u</mi><mn>2</mn></msub><mo>→</mo></mover></math> là các VTCP của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub></math>.</p>
<p><strong>Cách 2:</strong> Sử dụng tính chất <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>b</mi><mo>∥</mo><mi>c</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>a</mi><mo>⊥</mo><mi>c</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>⇒</mo><mi>a</mi><mo>⊥</mo><mi>b</mi></math></p>
<p><strong>Cách 3:</strong> Sử dụng định lý Pi-ta-go hoặc xác định góc giữa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub></math> và tính trực tiếp góc đó.</p>
<p> </p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn giải Hoạt động 1 (Trang 93 SGK Toán Hình học 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 2 (Trang 94 SGK Toán Hình học 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 3 (Trang 95 SGK Toán Hình học 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 4 (Trang 97 SGK Toán Hình học 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 5 (Trang 97 SGK Toán Hình học 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 97 SGK Toán Hình học 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 97 SGK Toán Hình học 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 97 SGK Toán Hình học 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 98 SGK Toán Hình học 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 98 SGK Toán Hình học 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 6 (Trang 98 SGK Toán Hình học 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 7 (Trang 98 SGK Toán Hình học 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 8 (Trang 98 SGK Toán Hình học 11)
Xem lời giải