Hướng dẫn giải Hoạt động 2 (Trang 94 SGK Toán Hình học 11)

Đề bài

Cho hình lập phương $A B C D . A' B' C' D'$

a) Hãy phân tích các vecto $\vec{A C'}; \vec{B D}$ theo ba vecto $\vec{A B}; \vec{A D}; \vec{A A'}$

b) Tính $\cos (\vec{A C'}, \vec{B D})$ và từ đó suy ra $\vec{A C'}; \vec{B D}$ vuông góc với nhau

Lời giải chi tiết

$\vec{A C'} = \vec{A C} + \vec{A A'} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'} \vec{B D} = \vec{A D} - \vec{A B}$

$\cos (\vec{A C'}, \vec{B D}) = \frac{\vec{A C'} . \vec{B D}}{|\vec{A C'}| . |\vec{B D}|} \vec{A C'} . \vec{B D} = (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'}) . (\vec{A D} - \vec{A B}) = (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'}) . \vec{A D} - (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'}) . \vec{A B} = \vec{A B} . \vec{A D} + \vec{A D} . \vec{A D} + \vec{A A'} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A B} - \vec{A D} . \vec{A B} - \vec{A A'} . \vec{A B} (1)$

$\begin{aligned} a) \\ \vec{A C^{'}} = \vec{A C} + \vec{A A}^{'} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A}^{'} \\ \vec{B D} = \vec{A D} - \vec{A B} \\ b) \\ \cos (\vec{A C^{'}}, \vec{B D}) = \frac{\vec{A C^{'}} . \vec{B D}}{| \vec{A C^{'}} | . | \vec{B D} |} \\ \vec{A C^{'}} . \vec{B D} = (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}) . (\vec{A D} - \vec{A B}) \\ = (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}) . \vec{A D} - (\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}) . \vec{A B} \\ = \vec{A B} . \vec{A D} + \vec{A D} . \vec{A D} + \vec{A A^{'}} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A B} - \vec{A D} . \vec{A B} - \vec{A A^{'}} . \vec{A B} (1) \end{aligned}$ Hình lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ nên $A B, A D, A A'$ đôi một vuông góc với nhau

$(1) = \vec{0} + {\vec{A D}}^{2} + \vec{0} - {\vec{A B}}^{2} - \vec{0} - \vec{0} = 0 (A B = A D) \Rightarrow \cos (\vec{A C'}, \vec{B D}) = \frac{\vec{A C'} . \vec{B D}}{|\vec{A C'}| . |\vec{B D}|} = 0 \Rightarrow (\vec{A C'}, \vec{B D}) = 90 °$