Bài 3 (Trang 20 SGK Toán 10, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng song song a và b. Cho 3 điểm phân biệt trên đường thẳng a và 4 điểm phân biệt trên đường thẳng b. Có bao nhiêu tam giác có cả 3 đỉnh là 3 điểm trong 7 điểm nói trên?

Hướng dẫn giải

Chọn 3 điểm để tạo thành 3 đỉnh của một tam giác thì 3 điểm đó phải không thẳng hàng với nhau.

Do đó, ta chọn 3 điểm sao cho 1 điểm thuộc được thẳng này và 2 điểm phải thuộc đường thẳng kia. Khi chọn như thế, ta chỉ có thể chọn theo một trong hai khả năng sau:

- Chọn 1 điểm thuộc đường thẳng a và 2 điểm thuộc đường thẳng b;

- Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng a và 1 điểm thuộc đường thẳng b.

• Xét khả năng thứ nhất: Chọn 1 điểm thuộc đường thẳng a và 2 điểm thuộc đường thẳng b.

- Chọn 1 điểm trong 3 điểm thuộc đường thẳng a, có $C_3^1 = 3$ (cách chọn)

- Chọn 2 điểm trong 4 điểm thuộc đường thẳng b, có $C_4^2 = 6$ (cách chọn)

Theo quy tắc nhân, số cách chọn 1 điểm thuộc đường thẳng a và 2 điểm thuộc đường thẳng b là: $3 . 6 = 18.$

• Xét khả năng thứ hai: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng a và 1 điểm thuộc đường thẳng b.

Chọn 2 điểm trong 3 điểm thuộc đường thẳng a, có $C_3^2 = 3$ (cách chọn)

Chọn 1 điểm trong 4 điểm thuộc đường thẳng b, có $C_4^1 = 4$ (cách chọn)

Theo quy tắc nhân, số cách chọn 2 điểm thuộc đường thẳng a và 1 điểm thuộc đường thẳng b là:$3 . 4 = 12.$

Theo quy tắc cộng, số tam giác có cả 3 đỉnh là 3 điểm trong 7 điểm nói trên là $18 + 12 = 30$ (tam giác).