Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B$\in$(O), C$\in$(O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I. 

a, Chứng minh rằng $\stackrel{⏜}{BAC}=$90$°$.

b, Tính số đo góc OIO'.

c, Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O'A = 4cm.

Giải

a, Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC.

Tam giác ABC có đường trung tuyến AI = $\frac{1}{2}$BC nên là tam giác vuông. Vậy $\stackrel{⏜}{BAC}$ = 90$°$

b, Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của góc kề bù AIB, AIC nên: 

$\stackrel{⏜}{OIO\text{'}}=\stackrel{⏜}{OIA}+\stackrel{⏜}{O\text{'}IA}=\frac{1}{2}\stackrel{⏜}{AIB}+\frac{1}{2}\stackrel{⏜}{AIC}=\frac{1}{2}(\stackrel{⏜}{AIB}+\stackrel{⏜}{AIC})$.  Vậy $\stackrel{⏜}{OIO\text{'}}$= 90$°$

c, Tam giác OIO' vuông tại A có IA là đường cao nên hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có: 

IA² = AO, AO' = 9.4 = 36$\Rightarrow$IA = 6 cm

Vậy BC = 2IA = 2.6 = 12 (cm)