Đề bài
Tính diện tích hình thoi có cạnh dài 6cm và một trong các góc của nó có số đo là ${60}^{\circ }$

Lời giải chi tiết

Xét hình thoi ABCD có cạnh 6cm và $\widehat{BAD}={60}^{\circ }$. Kẻ $BH⟂AD$
Công thức tổng quát tính độ dài đường cao BH:
Ta có $\mathrm{△}ABD$ là tam giác đều (vì tam giác ABD cân có $\widehat{A}={60}^{\circ }$)
Tam giác ABD đều nên đường cao $\mathrm{BH}$ cũng là đường trung tuyến hay H là trung điểm của AD
Suy ra $AH=\frac{AD}{2}=\frac{AB}{2}$
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABH có:
$$\begin{gathered} B{H}^2=A{B}^2-A{H}^2 \\ =A{B}^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2 \\ =A{B}^2-\frac{A{B}^2}{4}=\frac{3A{B}^2}{4}. \\ \Rightarrow BH=\frac{AB\cdot \sqrt{3}}{2}\left(\mathrm{cm}\right) \end{gathered}$$
Tổng quát: Đường cao tam giác đều cạnh a có độ dài là:
$h_a=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng vào bài với cạnh a=6cm thì
$BH=\frac{a\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\left(\mathrm{cm}\right)$
Tính diện tích hình thoi ABCD.
Cách 1:
Ta có: $BH=3\sqrt{3}$ (cm) (theo trên)
$S_{ABCD}=BH.AD=3\sqrt{3}\cdot 6=18\sqrt{3}\left({\mathrm{cm}}^2\right)$
Cách 2:
Vì $\mathrm{△}ABD$ là tam giác đều nên $BD=AB=6\mathrm{cm},AI$ là đường cao đồng thời là trung tuyến tam giác nên
$$\begin{gathered} AI=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\left(\mathrm{cm}\right) \\ \Rightarrow AC=2AI=6\sqrt{3}\left(\mathrm{cm}\right) \\ {S}_{ABCD}=\frac{1}{2}BD\cdot AC=\frac{1}{2}6.6\sqrt{3}=18\sqrt{3}\left({\mathrm{cm}}^2\right) \end{gathered}$$