Bài 7.44 (Trang 46 SGK Toán lớp 7 - Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2):

Cho đa thức A = x⁴ + x³ - 2x - 2.

a) Tìm đa thức B sao cho A + B = x³ + 3x + 1.

b) Tìm đa thức C sao cho A - C = x⁵.

c) Tìm đa thức D, biết rằng D = (2x² - 3) . A.

d) Tìm đa thức P sao cho A = (x + 1) . P.

e) Có hay không một đa thức Q sao cho A = (x² + 1). Q?

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

B = (A + B) - A

= (x³ + 3x + 1) - (x⁴ + x³ - 2x - 2)

= x³ + 3x + 1 - x⁴ - x³ + 2x + 2

= -x⁴ + (x³ - x³) + (3x + 2x) + (1 + 2)

= -x⁴ + 5x + 3

b) C = (A - C) - A

= x⁴ - (x⁴ + x³ - 2x - 2)

= x⁵ - x⁴ - x³ + 2x + 2

c) D = (2x³ - 3) . A

= (2x³ - 3) . (x⁴ + x³ - 2x - 2)

= 2x³ .(x⁴ + x³ - 2x - 2) + (-3).(x⁴ + x³ - 2x - 2)

= 2x³ .x⁴ + 2x³ .x³ + 2x³ . (-2x) + 2x³.(-2) + (-3).x⁴ + (-3).x³ + (-3).(-2x) + (-3).(-2)

= 2x⁷ + 2x⁶ - 4x⁴ - 4x³ - 3x⁴ - 3x³ + 6x + 6

= 2x⁷ + 2x⁶ + (-4x⁴ - 3x⁴) + (4x³ - 3x³) + 6x + 6

= 2x⁷ + 2x₆ - 7x⁴ - 7x³ + 6x + 6

d)

P = A : (x + 1) = (x⁴ + x³ - 2x - 2) : (x + 1)

Vậy P = x³ - 2.

e) Q = A : (x² + 1)

Nếu A chia cho đa thức x² + 1 không dư thì có một đa thức Q thỏa mãn.

Ta thực hiện phép chia (x⁴ + x³ - 2x - 2) : (x² + 1) như sau:

Do phép chia có dư nên không tồn tại đa thức Q thỏa mãn yêu cầu của đề bài.