Luyện tập - Vận dụng 3 (Trang 111 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

+) Chứng minh IA là đường trung trực của NP.

Do IP = IN $\Rightarrow$ I thuộc đường trung trực của NP.

Xét $∆$AIP vuông tại P và $∆$AIN vuông tại N có:

AI chung.

IP = IN (theo giả thiết).

$\Rightarrow$ $∆$AIP = $∆$AIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

$\Rightarrow$ AP = AN (2 cạnh tương ứng).

$\Rightarrow$ A thuộc đường trung trực của NP.

Vậy  IA là đường trung trực của NP.

+) Chứng minh IB là đường trung trực của PM.

Do IP = IM $\Rightarrow$ I thuộc đường trung trực của PM.

Xét ∆BIP vuông tại P và ∆BIM vuông tại M có:

BI chung.

IP = IM (theo giả thiết).

$\Rightarrow$ $∆$BIP = $∆$BIM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

$\Rightarrow$ BP = BM (2 cạnh tương ứng).

Do BP = BM nên B thuộc đường trung trực của PM.

Do đó IB là đường trung trực của PM.

+) Chứng minh IC là đường trung trực của MN.

Do IM = IN $\Rightarrow$ I $\in$ đường trung trực của MN.

Xét ∆CIM vuông tại M và ∆CIN vuông tại N có:

CI chung.

IM = IN (theo giả thiết).

$\Rightarrow$ ∆CIM = ∆CIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

$\Rightarrow$ CM = CN (2 cạnh tương ứng).

$\Rightarrow$ CM = CN nên C $\in$ đường trung trực của MN.

Vậy IC là đường trung trực của MN.