Bài 2 (Trang 111 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) $\widehat{IAB} + \widehat{IBC} + \widehat{ICA} = 90°$

b) $\widehat{BIC} = 90° + \frac{1}{2}\widehat{BAC}$

Hướng dẫn giải

a) I là giao điểm của ba đường phân giác tại ba góc A, B, C 

$\Rightarrow \widehat{IAB} = \widehat{IAC}; \widehat{IBA} = \widehat{IBC}; \widehat{ICB } = \widehat{ICA}.$

Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180$°$, nên:

       $\widehat{ABC} + \widehat{BAC} + \widehat{BCA} = 180°$

$\iff \widehat{IAB} + \widehat{IAC} + \widehat{IBA} + \widehat{IBC} + \widehat{ICB } + \widehat{ICA} = 180°$

$\iff 2\widehat{IAB} + 2\widehat{IBC} + 2\widehat{ICA} = 180°$

$\iff \widehat{IAB} + \widehat{IBC} + \widehat{ICA} = 90°$

b) Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°. 

$∆$BIC: $\widehat{BIC} + \widehat{IBC} + \widehat{ICB} = 180°$

$\Rightarrow \widehat{BIC} = 180° - \left(\widehat{IBC} + \widehat{ICB}\right)$

Mà $\widehat{IAB} + \widehat{IBC} + \widehat{ICA} = 90° \Rightarrow \widehat{IBC} + \widehat{ICA} = 90° - \widehat{IAB}$

Vậy: $\widehat{BIC} = 180° - \left(\widehat{IBC} + \widehat{ICB}\right)$

                = $180° - \left( 90° - \widehat{IAB}\right)$

                = $90° + \widehat{IAB}$

Mà $\widehat{IAB} = \frac{1}{2}\widehat{BAC}$ (IA là phân giác của góc BAC).

Vậy $\widehat{BIC} = 90° + \widehat{IAB} = 90° + \frac{1}{2}\widehat{BAC}$