Bài 3: Lôgarit
Lý thuyết Lôgarit
<p><strong>1. Lôgarit là gì?</strong></p>
<p><strong>Khái niệm về Lôgarit:</strong></p>
<p>Cho hai số thực dương <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math> với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>≠</mo><mn>1</mn></math>. Số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> thỏa mãn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>a</mi><mi>α</mi></msup><mo>=</mo><mi>b</mi></math> được gọi là lôgarit cơ số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math>,</p>
<p>kí hiệu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mi>b</mi></mfenced><mo>=</mo><mi>α</mi></math>.</p>
<p>Vậy: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi><mo>=</mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mi>b</mi></mfenced><mo>⇔</mo><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>0</mn><mo><</mo><mi>a</mi><mo>≠</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>b</mi><mo>></mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>a</mi><mi>α</mi></msup><mo>=</mo><mi>b</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced></math></p>
<p>Ví dụ:</p>
<p>-) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mn>2</mn></msub><mfenced><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo> </mo><mi>vì</mi><mo> </mo><msup><mn>2</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math></p>
<p>-) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mn>2</mn></msub><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo> </mo><mi>vì</mi><mo> </mo><msup><mn>2</mn><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac></math></p>
<p>-) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mn>3</mn></msub><mfenced><mn>3</mn></mfenced><mo>=</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mi>vì</mi><mo> </mo><msup><mn>3</mn><mn>1</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>3</mn></math></p>
<p>-) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mfenced><mn>1</mn></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mi>vì</mi><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mn>0</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn></math></p>
<p>-) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mn>2</mn></msub><mfenced><mn>3</mn></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo> </mo><mi>vì</mi><mo> </mo><msup><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">x</mi></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>3</mn></math></p>
<p><strong>2. Các tính chất của lôgarit</strong></p>
<p><strong>a) Quy tắc tính lôgarit</strong></p>
<p>Cho số thực <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> thỏa mãn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo><</mo><mi>a</mi><mo>≠</mo><mn>1</mn></math>, ta có các tính chất sau:</p>
<p>- Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi><mo>></mo><mn>0</mn><mo>:</mo><mo> </mo><msup><mi>a</mi><mrow><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mi>b</mi></mfenced></mrow></msup><mo>=</mo><mi>b</mi></math></p>
<p>- Lôgarit của một tích:</p>
<ul>
<li>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>></mo><mn>0</mn><mo>:</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mrow><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>.</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mfenced><mo>+</mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mfenced></math></li>
<li>Mở rộng với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><mo>></mo><mn>0</mn><mo>:</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mrow><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>.</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mfenced><mo>+</mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mfenced><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub></mfenced></math></li>
</ul>
<p>- Lôgarit của một thương:</p>
<ul>
<li>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>></mo><mn>0</mn><mo>:</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mfrac><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mfrac></mfenced><mo>=</mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mfenced><mo>-</mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mfenced></math></li>
<li>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>></mo><mn>0</mn><mo>:</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math></li>
</ul>
<p>- Lôgarit của một lũy thừa:</p>
<ul>
<li>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi><mo>></mo><mn>0</mn><mo>:</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><msup><mi>b</mi><mi>x</mi></msup></mfenced><mo>=</mo><mi>x</mi><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mi>b</mi></mfenced></math></li>
<li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo>:</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><msup><mi>a</mi><mi>x</mi></msup></mfenced><mo>=</mo><mi>x</mi></math></li>
</ul>
<p><strong>b) Công thức đổi cơ số</strong></p>
<p>Cho số thực <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> thỏa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo><</mo><mi>a</mi><mo>≠</mo><mn>1</mn></math>, ta có các tính chất sau:</p>
<ul>
<li>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>00</mn></math>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mi>b</mi></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>log</mi><mi>c</mi></msub><mfenced><mi>b</mi></mfenced></mrow><mrow><msub><mi>log</mi><mi>c</mi></msub><mfenced><mi>a</mi></mfenced></mrow></mfrac></math></li>
</ul>
<p> Lấy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo><</mo><mi>b</mi><mo>≠</mo><mn>1</mn></math>, chọn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi><mo>=</mo><mi>b</mi></math> ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mi>b</mi></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msub><mi>log</mi><mi>b</mi></msub><mfenced><mi>a</mi></mfenced></mrow></mfrac></math></p>
<ul>
<li>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>b</mi><mo>></mo><mn>0</mn><mo>:</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><msup><mi>a</mi><mi>α</mi></msup></msub><mfenced><msup><mi>b</mi><mi>β</mi></msup></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mi>β</mi><mi>α</mi></mfrac><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mi>b</mi></mfenced></math></li>
<li>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>b</mi><mo>></mo><mn>0</mn><mo>:</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><msup><mi>a</mi><mi>α</mi></msup></msub><mfenced><mi>b</mi></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>α</mi></mfrac><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mi>b</mi></mfenced></math></li>
</ul>
<p>c) So sánh hai lôgarit cùng cơ số:</p>
<ul>
<li>Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>></mo><mn>1</mn></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>></mo><msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub><mfenced><mi>y</mi></mfenced><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>></mo><mi>y</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math></li>
</ul>
<p><strong>3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên:</strong></p>
<p><strong>a) Lôgarit thập phân</strong></p>
<p>Lôgarit cơ số 10 của số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> được gọi là Lôgarit thập phân của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>, kí hiệu là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>log</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math> hoặc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi><mi>g</mi><mi>x</mi></math>.</p>
<p><strong>b) Lôgarit tự nhiên</strong></p>
<p>Lôgarit cơ số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>e</mi></math> của số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> được gọi là Lôgarit tự nhiên ( hay Lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ln</mi><mfenced><mi>a</mi></mfenced></math></p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Hoạt động 1 (Trang 61 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Hoạt động 2 (Trang 62 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Hoạt động 3 (Trang 62 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Hoạt động 4 (Trang 63 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Hoạt động 5 (Trang 63 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Hoạt động 6 (Trang 64 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Hoạt động 7 (Trang 64 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Hoạt động 8 (Trang 65 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 68 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 68 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 68 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 68 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải
<span data-v-a7c68f28="">Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 68 SGK Toán Giải Tích 12)</span>
Xem lời giải