1. Lôgarit là gì?

Khái niệm về Lôgarit:

Cho hai số thực dương $a$ và $b$ với $a\ne 1$. Số $\alpha$ thỏa mãn $a^{\alpha }=b$ được gọi là lôgarit cơ số $a$ của $b$,

kí hiệu ${\log }_a\left(b\right)=\alpha$.

Vậy: $\alpha ={\log }_a\left(b\right)\iff \left\{\begin{array}{l}0<a\ne 1, b>0\\ a^{\alpha }=b\end{array}\right.$

Ví dụ:

-) ${\log }_2\left(\sqrt{2}\right)=\frac{1}{2} \mathrm{vì} 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

-) ${\log }_2\left(\frac{1}{8}\right)=-3 \mathrm{vì} 2^{-3} = \frac{1}{8}$

-) ${\log }_3\left(3\right)=1 \mathrm{vì} 3^1 = 3$

-) ${\log }_{\mathrm{a}}\left(1\right)=0 \mathrm{vì} {\mathrm{a}}^0 = 1$

-) ${\log }_2\left(3\right)=\mathrm{x} \mathrm{vì} 2^{\mathrm{x}} = 3$

2. Các tính chất của lôgarit

a) Quy tắc tính lôgarit

Cho số thực $a$ thỏa mãn $0<a\ne 1$, ta có các tính chất sau:

- Với $b>0: a^{{\log }_a\left(b\right)}=b$

- Lôgarit của một tích:

• Với $x_1,x_2>0: {\log }_a\left(x_1.x_2\right)={\log }_a\left(x_1\right)+{\log }_a\left(x_2\right)$
• Mở rộng với $x_1, x_2...x_n>0: {\log }_a\left(x_1.x_2...x_n\right)={\log }_a\left(x_1\right)+{\log }_a\left(x_2\right)+...+{\log }_a\left(x_n\right)$

- Lôgarit của một thương:

• Với $x_1,x_2>0: {\log }_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)={\log }_a\left(x_1\right)-{\log }_a\left(x_2\right)$
• Với $x>0: {\log }_a\left(\frac{1}{x}\right)=-{\log }_a\left(x\right)$

- Lôgarit của một lũy thừa:

• Với $b>0: {\log }_a\left(b^x\right)=x{\log }_a\left(b\right)$
• $\forall x: {\log }_a\left(a^x\right)=x$

b) Công thức đổi cơ số

Cho số thực $a$ thỏa $0<a\ne 1$, ta có các tính chất sau:

• Với $00$: ${\log }_a\left(b\right)=\frac{{\log }_c\left(b\right)}{{\log }_c\left(a\right)}$

               Lấy $0<b\ne 1$, chọn $c=b$ ta có: ${\log }_a\left(b\right)=\frac{1}{{\log }_b\left(a\right)}$

• Với $\alpha \ne 0, b>0: {\log }_{a^{\alpha }}\left(b^{\beta }\right)=\frac{\beta }{\alpha }{\log }_a\left(b\right)$
• Với $\alpha \ne 0, b>0: {\log }_{a^{\alpha }}\left(b\right)=\frac{1}{\alpha }{\log }_a\left(b\right)$

c) So sánh hai lôgarit cùng cơ số:

• Nếu $a>1$ thì ${\log }_a\left(x\right)>{\log }_a\left(y\right)\iff x>y>0$

3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên:

a) Lôgarit thập phân

Lôgarit cơ số 10 của số $x>0$ được gọi là Lôgarit thập phân của $x$, kí hiệu là $\log \left(x\right)$ hoặc $lgx$.

b) Lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số $e$ của số $a>0$ được gọi là Lôgarit tự nhiên ( hay Lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu $\ln \left(a\right)$