Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
<p><strong>1. Hoán vị</strong></p>
<p>Cho <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> phần tử khác nhau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>. Mỗi cách sắp thứ tự của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có</p>
<p>mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> phần tử đó.</p>
<p><em><strong>Định lí</strong></em></p>
<p>Số các hoán vị của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> phần tử khác nhau đã cho <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> được kí hiệu là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>P</mi><mi>n</mi></msub></math> và bằng:</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>P</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mi>n</mi><mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mi>n</mi><mo>!</mo></math></p>
<p><strong>Ví dụ:</strong></p>
<p>Tính số cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc.</p>
<p><strong>Hướng dẫn:</strong></p>
<p>Mỗi cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 6 phần tử.</p>
<p>Vậy số cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>P</mi><mn>6</mn></msub><mo>=</mo><mn>6</mn><mo>!</mo><mo>=</mo><mn>720</mn></math>.</p>
<p><strong>2. Chỉnh hợp</strong></p>
<p><em><strong>Định nghĩa</strong></em></p>
<p>Cho tập hợp <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> gồm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> phần tử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>.</p>
<p>Kết quả của việc lấy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math> phần tử khác nhau từ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> phần tử của tập hợp <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một <strong>chỉnh hợp chập <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math></strong><strong> của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math></strong><strong> phần tử</strong> đã cho.</p>
<p><em><strong>Chú ý</strong></em></p>
<p>Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> phần tử đó.</p>
<p><em><strong>Định lí</strong></em></p>
<p>Số chỉnh hợp chập <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math> của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>A</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup></math> và bằng</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>A</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><mo>=</mo><mi>n</mi><mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow><mrow><mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>k</mi></mrow></mfenced><mo>!</mo></mrow></mfrac><mo> </mo><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>k</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></mrow></mfenced></math></p>
<p>Với quy ước <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo>!</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></math>.</p>
<p><strong>Ví dụ:</strong></p>
<p>Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7?</p>
<p><strong>Hướng dẫn:</strong></p>
<p>Mỗi số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 4 chữ số từ tập <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>=</mo></math>{1;2;3;4;5;6;7} và xếp</p>
<p>chúng theo một thứ tự nhất định.</p>
<p>Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử.</p>
<p>Vậy số các số cần tìm là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>A</mi><mn>7</mn><mn>4</mn></msubsup><mo>=</mo><mn>840</mn></math> số.</p>
<p><strong>3. Tổ hợp</strong></p>
<p><em><strong>Định nghĩa</strong></em></p>
<p>Cho <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> phần tử khác nhau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>. Mỗi tập con gồm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math> phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập</p>
<p>hợp <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> phần tử đã cho <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>k</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></mrow></mfenced></math> được gọi là một tổ hợp chập <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math> của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp</p>
<p>chập <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn></math> của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).</p>
<p><em><strong>Định lí</strong></em></p>
<p>Số các tổ hợp chập <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math> của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math> phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup></math> và bằng</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>!</mo><mfenced><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>k</mi></mrow></mfenced><mo>!</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msubsup><mi>A</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><mrow><mi>k</mi><mo>!</mo></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>k</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></mrow></mfenced></math></p>
<p><strong>Ví dụ:</strong></p>
<p>Một bàn học sinh có 3 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn để làm trực nhật?</p>
<p><strong>Hướng dẫn:</strong></p>
<p>Mỗi cách chọn ra 2 bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử.</p>
<p>Vậy số cách chọn là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mn>5</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>=</mo><mn>10</mn></math> (cách)</p>
<p><em><strong>Định lí</strong></em></p>
<p>Với mọi <span id="MathJax-Element-59-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 21.78px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>&#x2265;</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>&#x2264;</mo><mi>k</mi><mo>&#x2264;</mo><mi>n</mi></math>"><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>k</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></math></span></span>, ta có:</p>
<p>a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>k</mi></mrow></msubsup></math></p>
<p>b)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mi>k</mi></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>C</mi><mi>n</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mi>C</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></math> .</p>
<p><strong>4. Một số dạng toán thường gặp</strong></p>
<p><strong>Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp</strong></p>
<p><strong>Phương pháp chung:</strong></p>
<p>- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.</p>
<p>- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.</p>
<p><strong>Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp</strong></p>
<p><strong>Phương pháp chung:</strong></p>
<p>- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.</p>
<p>- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.</p>
<p><br /><br /><br /></p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn giải Hoạt động 1 (Trang 47 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 2 (Trang 49 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 3 (Trang 49 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 4 (Trang 51 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 5 (Trang 52 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 54 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 54 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 54 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 55 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 55 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 6 (Trang 55 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 7 (Trang 55 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải