1. Hoán vị

Cho $n$ phần tử khác nhau $\left(n\ge 1\right)$. Mỗi cách sắp thứ tự của $n$ phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có

mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó.

Định lí

Số các hoán vị của $n$ phần tử khác nhau đã cho $\left(n\ge 1\right)$ được kí hiệu là $P_n$ và bằng:

                          $P_n=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)...2.1=n!$

Ví dụ:

Tính số cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc.

Hướng dẫn:

Mỗi cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 6 phần tử.

Vậy số cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là $P_6=6!=720$.

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử $\left(n\ge 1\right)$.

Kết quả của việc lấy $k$ phần tử khác nhau từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.

Chú ý

Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập $n$ của $n$ phần tử đó.

Định lí

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $A_n^k$ và bằng

                        $A_n^k=n\left(n-1\right)...\left(n-k+1\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!} \left(1\le k\le n\right)$

Với quy ước $0!=1$.

Ví dụ:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7?

Hướng dẫn:

Mỗi số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 4 chữ số từ tập $A=${1;2;3;4;5;6;7} và xếp

chúng theo một thứ tự nhất định.

Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử.

Vậy số các số cần tìm là $A_7^4=840$ số.

3. Tổ hợp

Định nghĩa

Cho $n$ phần tử khác nhau $\left(n\ge 1\right)$. Mỗi tập con gồm $k$ phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập

hợp $n$ phần tử đã cho $\left(0\le k\le n\right)$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp

chập $0$ của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).

Định lí

Số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $C_n^k$ và bằng

                       $C_n^k=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\frac{A_n^k}{k!}, \left(0\le k\le n\right)$

Ví dụ:

Một bàn học sinh có 3 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn để làm trực nhật?

Hướng dẫn:

Mỗi cách chọn ra 2 bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử.

Vậy số cách chọn là: $C_5^2=10$ (cách)

Định lí

Với mọi $n\ge 1; 0\le k\le n$, ta có:

a) $C_n^k=C_n^{n-k}$

b)$C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ .

4. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.

- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.

- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.