Trong các dãy số $\left(u_n\right)$ sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

$$\begin{gathered} a) u_n=2n^2-1 ; b) u_n=\frac{1}{n(n+2)} \\ c) u_n=\frac{1}{2n^2-1} ; d) u_n=\sin \left(n\right)+\cos \left(n\right) \end{gathered}$$

Giải 

a) Vì $u_n=2n^2-1\ge 1$ với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ nên dãy $\left(u_n\right)$ bị chặn dưới và không bị chặn trên vì khi n lớn vô cùng

thì $2n^2-1$ cũng lớn vô cùng.

b) Ta có: $u_n>0$ với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$.

    Vì $n(n+2)\ge 3$ nên $u_n=\frac{1}{n(n+2)}\le \frac{1}{3}$với mọi $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$.

    Vậy dãy số $\left(u_n\right)$ bị chặn vì $0<u_n\le \frac{1}{3}$ với mọi $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$.

c) Với $n\ge 1$thì $2n^2-1>0\Rightarrow u_n=\frac{1}{2n^2-1}>0, \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$

    Vì $2n^2-1\ge 1,$ nên $u_n=\frac{1}{2n^2-1}\le 1$ với mọi $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$

    Vậy $0<u_n\le 1, \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ nếu $\left(u_n\right)$ bị chặn.

d) Ta có $\left|u_n\right|=\left|\sqrt{2\sin \left(n+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)}\right|\le \sqrt{2} \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$

       $\Rightarrow -\sqrt{2}\le u_n\le \sqrt{2}, \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\Rightarrow \left(u_n\right)$bị chặn.