Xét tính tăng, giảm của các dãy số $\left(u_n\right)$, biết:

$$\begin{gathered} a) u_n=\frac{1}{n}-2 ; b) u_n=\frac{n-1}{n+1} ; \\ c) u_n={\left(-1\right)}^n\left(2^n+1\right) ; d) u_n=\frac{2n+1}{5n+2} . \end{gathered}$$

Giải 

a) Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-2-\frac{1}{n}+2=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=\frac{-1}{n(n+1)}<0$

        $\Rightarrow u_{n+1}<u_n$ với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$.

    Vậy $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

b) Ta có: $u_n=\frac{n-1}{n+1}=\frac{n+1-2}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}$

              $u_{n+1}-u_n=1-\frac{2}{n+2}-1+\frac{2}{n+1}=\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+2}>0$

          $\Rightarrow u_{n+1}>u_n \forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$.

     Vậy $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

c) Ta có $u_1=-3, u_2=5, u_3=-9$, vì $u_1<u_2>u_3$ nên $u_n$ là dãy không tăng, không giảm.

d) Ta có:    $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2n+3}{5n+7}.\frac{5n+2}{2n+1}=\frac{10n^2+19n+6}{10n^2+19n+7}<1$

             $\Rightarrow u_{n+1}<u_{n }\forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$

    Vậy $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.