Dãy số $\left(u_n\right)$ cho bởi: 

                $u_1=3; u_{n+1}=\sqrt{1+{u_n}^2}, n\ge 1.$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_n$ và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Giải

a)

 $$\begin{gathered} u_1=3, u_2=\sqrt{1+3^2}=\sqrt{10} \\ {u}_3=\sqrt{1+10}=\sqrt{11} \\ {u}_4=\sqrt{1+11}=\sqrt{12} \\ {u}_5=\sqrt{1+12}=\sqrt{13} \end{gathered}$$

b) Viết $3=\sqrt{9}$ và nhận xét

                       $$\begin{gathered} \sqrt{9}=\sqrt{1+8} \\ \sqrt{10}=\sqrt{2+8} \\ \sqrt{11}=\sqrt{3+8} \\ \sqrt{12}=\sqrt{4+8} \\ .... \end{gathered}$$

   Dự đoán      $u_n=\sqrt{n+8}$ với $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{*}$.      (1)

   Chứng minh công thức (1) bằng quy nạp.

   Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

   Giả sử đã có $u_k=\sqrt{k+8}$ với $k\ge 1.$

   Theo công thức dãy số, ta có: 

                       $u_{k+1}=\sqrt{1+{u_k}^2}=\sqrt{1+{\left(\sqrt{k+8}\right)}^2}=\sqrt{\left(k+1\right)+8}$

   Vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.

   Do đó, công thức (1) đúng với mọi $n\ge 1$.