Cho hai đường tròn (O;R) và (O'; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của OO'. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng vuông góc này cắt đường tròn (O; R) và (O'; r) theo thứ tự tại C và D (khác A). 

a. Chứng minh rằng AC = AD.

b. Gọi K là điểm đối đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB.

Giải

a. Vẽ OM $\perp$ CD tại M, O'N $\perp$ CD tại N, ta có:

MA = MC = $\frac{AC}{2}$; NA = ND = $\frac{AD}{2}$

Mặt khác, ta có OM $\perp$ CD, IA $\perp$ CD, O'N $\perp$ CD

$\Rightarrow$OM // IA // O'N.

Hình thang OMNO' (OM // O'N) có IA // OM; IO = IO' nên MA = NA 

Do vậy AC = AD

b. (O) và (O') cắt nhau tại A, B

$\Rightarrow$OO' là đường trung trực của đoạn thẳng AB

$\Rightarrow$IA = IB.

Mặt khác IA = IK (vì K đối xứng với A qua I)

Do đó IA = IB = IK

Ta có $∆$KBA có BI là đường trung tuyến và BI = $\frac{AK}{2}$ nên $∆$KBA vuông tại B. 

$\Rightarrow$KB $\perp$AB.