Cho đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B$\in$ (O), C $\in$ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng:

a. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b. ME . MO = MF . MO'.

c. OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.

d. BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO'.

Giải

a. MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt).

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MA = MB, MO là tia phân giác $\stackrel{⏜}{AMB}$.

$∆MAB$ cân tại M (MA = MB)

Có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao

$\Rightarrow MO\perp AB\Rightarrow \stackrel{⏜}{MEA}$ = $90°$

Chứng minh tương tự có MO' là tia phân giác $\stackrel{⏜}{AMC}$ và $\stackrel{⏜}{MFA}$ = $90°$

MO, MO' là hai tia phân giác của hai góc kẻ bù $\stackrel{⏜}{AMB}$, $\stackrel{⏜}{AMC}$ $\Rightarrow \stackrel{⏜}{EMF}$ = $90°$

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì $\stackrel{⏜}{EMF}$ = $\stackrel{⏜}{MEA}$ = $\stackrel{⏜}{MFA}$ = $90°$) 

b.  $∆$MAO vuông tại A có AE là đường cao nên ME . MO = MA²

Tương tự, ta có: MF . MO = MF . MO' (=MA²)

c. Ta có MA = MB = MC nên M là tâm đường tròn đường kính BC có bán kính là MA. Mà OO' $\perp$MA tại A.

Do đó OO' là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

d.  Gọi K là trung điểm OO', ta có K là tâm đường tròn đường kính là OO', bán kính KM ($∆$MOO' vuông tại M)

Ta có OB $\perp$ BC, O'C $\perp$ BC $\Rightarrow OB$ $\parallel$ OB.

Mà OB $\perp$ BC nên KM $\perp$ BC

Ta có BC $\perp$KM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO'.