Ôn tập chương II
Hướng dẫn giải Bài 41 (Trang 128 SGK Toán Hình học 9, Tập 1)
<p>Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. </p>
<p>a. Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).</p>
<p>b. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?</p>
<p>c. Chứng minh đẳng thức AE . AB = AF . AC</p>
<p>d. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K). </p>
<p>e. Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.</p>
<p><strong>Giải</strong></p>
<p><strong>a. </strong>OI = OB - IB nên (I) tiếp xúc trong với (O)</p>
<p> OK = OC - CK nên (K) tiếp xúc trong với (O)</p>
<p> IK = IH + KH nên (I) tiếp xúc ngoài với (K)</p>
<p><strong>b. </strong><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>B</mi><mi>E</mi><mi>H</mi></mrow><mo>⏜</mo></mover></math>=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>90</mn><mo>°</mo></math> (E thuộc đường tròn đường kính BH) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>E</mi><mi>H</mi></mrow><mo>⏜</mo></mover></math>= <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>90</mn><mo>°</mo></math></p>
<p>Tương tự có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>F</mi><mi>H</mi><mo> </mo></mrow><mo>⏜</mo></mover></math>= <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>90</mn><mo>°</mo></math> , <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>B</mi><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mo>⏜</mo></mover></math>= <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>90</mn><mo>°</mo></math> </p>
<p> <strong><img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/18022022/bt-41-trang-128-OM69N9.jpg" /></strong> </p>
<p>Tứ giác AEHF có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>E</mi><mi>A</mi><mi>F</mi></mrow><mo>⏜</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>E</mi><mi>H</mi></mrow><mo>⏜</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>F</mi><mi>H</mi></mrow><mo>⏜</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>90</mn><mo>°</mo></math> nên là hình chữ nhật.</p>
<p><strong>c. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math></strong>ABH vuông tại H, HE là đường cao nên AH<sup>2 </sup>= AE . AB</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math>ACH vuông tại H, HF là đường cao nên AH<sup>2 </sup>= AF . AC</p>
<p>Do đó AE . AB = AF . AC</p>
<p><strong>d. </strong>Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta có: ME = MF = MH = MA</p>
<p>Xét <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math>MEI và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math>MHI có: </p>
<p>ME = MH , IE = IH (= R), MI ( cạnh chung).</p>
<p>Do đó <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math>MEI = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math>MHI (c.c.c)</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>M</mi><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow><mo>⏜</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>M</mi><mi>H</mi><mi>I</mi></mrow><mo>⏜</mo></mover></math></p>
<p>mà <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>M</mi><mi>H</mi><mi>I</mi></mrow><mo>⏜</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>90</mn><mo>°</mo></math> nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>M</mi><mi>E</mi><mi>I</mi></mrow><mo>⏜</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>90</mn><mo>°</mo></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math>EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)</p>
<p>Chứng minh tương tự có EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)</p>
<p><strong>e. </strong>Ta có EF = AH mà AH <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⩽</mo></math> AO = R</p>
<p>Do đó EF <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⩽</mo></math> R, không đổi. Dấu "=" xảy ra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo></math> H = O</p>
<p>Vậy khi dây AD vuông gó với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất. </p>
<p> </p>
<p> </p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài