Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. 

a. Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).

b. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

c. Chứng minh đẳng thức AE . AB = AF . AC

d. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K). 

e. Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Giải

a. OI = OB - IB nên (I) tiếp xúc trong với (O)

    OK = OC - CK nên (K) tiếp xúc trong với (O)

     IK = IH + KH nên (I) tiếp xúc ngoài với (K)

b. $\stackrel{⏜}{BEH}$=$90°$ (E thuộc đường tròn đường kính BH) $\Rightarrow$$\stackrel{⏜}{AEH}$= $90°$

Tương tự có $\stackrel{⏜}{AFH }$= $90°$ , $\stackrel{⏜}{BAC}$= $90°$    

Tứ giác AEHF có $\stackrel{⏜}{EAF}$ = $\stackrel{⏜}{AEH}$ = $\stackrel{⏜}{AFH}$ = $90°$ nên là hình chữ nhật.

c. $∆$ABH vuông tại H, HE là đường cao nên AH² = AE . AB

$∆$ACH vuông tại H, HF là đường cao nên AH² = AF . AC

Do đó AE . AB = AF . AC

d. Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta có: ME = MF = MH = MA

Xét $∆$MEI và $∆$MHI có: 

ME = MH , IE = IH (= R), MI ( cạnh chung).

Do đó $∆$MEI = $∆$MHI (c.c.c)

$\Rightarrow$$\stackrel{⏜}{MEI}$ = $\stackrel{⏜}{MHI}$

mà $\stackrel{⏜}{MHI}$ = $90°$ nên $\stackrel{⏜}{MEI}$ = $90°$

$\Rightarrow$EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Chứng minh tương tự có EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

e. Ta có EF = AH mà AH $⩽$ AO = R

Do đó EF $⩽$ R, không đổi. Dấu "=" xảy ra $\iff$ H = O

Vậy khi dây AD vuông gó với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.