Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Lấy $M$ là một điểm bất kì thuộc cạnh $B$. Gọi $M$ là đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB$, $ME$ là đường vuông góc kẻ từ M đến $AC$, $O$ là trung điểm của $DE$.

a) Chứng mình rằng ba điểm $A,O,M$ thẳng hàng.

b) Khi điểm $M$ di chuyển trên cạnh $BC$ thì điểm $O$ di chuyển trên đường nào ?

c) Điểm $M$ ở vị trí nào trên cạnh $BC$ thì $A$ có độ dài nhỏ nhất?

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác ADME có:
$\widehat{DA\mathrm{E}}=\widehat{ADM}=\widehat{A\mathrm{EM}}={90}^{\circ }$(giả thiết)
$\Rightarrow$ Tứ giác ADME là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Vì O là trung điểm của đường chéo DE (giả thiết)
$\Rightarrow O$ cũng là trung điểm của AM (tính chất hình chữ nhật)
Vậy A, O, M thẳng hàng.
b) Kẻ $AH⟂BC$, kẻ $OK⟂BC$
Cách 1:
Ta có OA=OM (do O là trung điểm của AM)
OK//AH (do cùng vuông góc với BC).
$\Rightarrow K$ là trung điểm của MH (Đường thẳng đi qua trung điểm
một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)
$\Rightarrow OK=\frac{1}{2}AH$ (tính chất đường trung bình của tam giác)
Điểm O cách đoạn BC cố định một khoảng không đổi bằng $\frac{1}{2}AH$
Mặt khác khi M trùng C thì O chính là trung điểm của AC, khi M trùng B thì O chính là trung điểm của AB.

Vậy O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của $\mathrm{△}ABC.$

Cách 2:
Vì O là trung điểm của AM nên HO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AM. Do đó OA=OH. Suy ra điểm O di chuyển trên đường trung trực của AH.

Mặt khác vì M di chuyển trên đoạn BC. Vậy điểm O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của ABC.
c) Ta có AH là đường cao hạ từ A đến BC do đó $AM\ge AH$ (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất).
Vậy AM nhỏ nhất bằng AH khi M trùng H.