Bài 10: Đường Thẳng Song Song Với Một Đường Thẳng Cho Trước
Hướng dẫn giải Bài 71 (Trang 103 SGK Toán Hình học 8, Tập 1)
<p><strong class="content_question">Đề bài</strong></p>
<p>Cho tam giác <span id="MathJax-Element-1-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></math>"><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></math></span></span> vuông tại <span id="MathJax-Element-2-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>"><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math></span></span>. Lấy <span id="MathJax-Element-3-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math>"><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math></span></span> là một điểm bất kì thuộc cạnh <span id="MathJax-Element-4-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>C</mi></math>"><span id="MJXc-Node-12" class="mjx-math" aria-hidden="true"><span id="MJXc-Node-13" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-14" class="mjx-mi"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">B</span></span></span></span><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi></math></span></span>. Gọi <span id="MathJax-Element-5-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mi>D</mi></math>"><span id="MJXc-Node-16" class="mjx-math" aria-hidden="true"><span id="MJXc-Node-17" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-18" class="mjx-mi"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">M</span></span></span></span><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>D</mi></math></span></span> là đường vuông góc kẻ từ <span id="MathJax-Element-6-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math>"><span id="MJXc-Node-20" class="mjx-math" aria-hidden="true"><span id="MJXc-Node-21" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-22" class="mjx-mi"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">M</span></span></span></span></span> đến <span id="MathJax-Element-7-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi></math>"><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi></math></span></span>, <span id="MathJax-Element-8-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mi>E</mi></math>"><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mi>E</mi></math></span></span> là đường vuông góc kẻ từ M đến <span id="MathJax-Element-10-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>C</mi></math>"><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>C</mi></math></span></span>, <span id="MathJax-Element-11-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi></math>"><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi></math></span></span> là trung điểm của <span id="MathJax-Element-12-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>D</mi><mi>E</mi></math>"><span id="MJXc-Node-41" class="mjx-math" aria-hidden="true"><span id="MJXc-Node-42" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-43" class="mjx-mi"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">D</span></span><span id="MJXc-Node-44" class="mjx-mi"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">E</span></span></span></span></span>.</p>
<p>a) Chứng mình rằng ba điểm <span id="MathJax-Element-13-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>,</mo><mi>O</mi><mo>,</mo><mi>M</mi></math>"><span id="MJXc-Node-45" class="mjx-math" aria-hidden="true"><span id="MJXc-Node-46" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-47" class="mjx-mi"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">A</span></span><span id="MJXc-Node-48" class="mjx-mo"><span class="mjx-char MJXc-TeX-main-R">,</span></span><span id="MJXc-Node-49" class="mjx-mi MJXc-space1"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">O</span></span><span id="MJXc-Node-50" class="mjx-mo"><span class="mjx-char MJXc-TeX-main-R">,</span></span><span id="MJXc-Node-51" class="mjx-mi MJXc-space1"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">M</span></span></span></span></span> thẳng hàng.</p>
<p>b) Khi điểm <span id="MathJax-Element-14-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math>"><span id="MJXc-Node-52" class="mjx-math" aria-hidden="true"><span id="MJXc-Node-53" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-54" class="mjx-mi"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">M</span></span></span></span></span> di chuyển trên cạnh <span id="MathJax-Element-15-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>C</mi></math>"><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>C</mi></math></span></span> thì điểm <span id="MathJax-Element-16-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi></math>"><span id="MJXc-Node-59" class="mjx-math" aria-hidden="true"><span id="MJXc-Node-60" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-61" class="mjx-mi"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">O</span></span></span></span></span> di chuyển trên đường nào ?</p>
<p>c) Điểm <span id="MathJax-Element-17-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math>"><span id="MJXc-Node-62" class="mjx-math" aria-hidden="true"><span id="MJXc-Node-63" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-64" class="mjx-mi"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">M</span></span></span></span></span> ở vị trí nào trên cạnh <span id="MathJax-Element-18-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>C</mi></math>"><span id="MJXc-Node-65" class="mjx-math" aria-hidden="true"><span id="MJXc-Node-66" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-67" class="mjx-mi"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">B</span></span><span id="MJXc-Node-68" class="mjx-mi"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">C</span></span></span></span></span> thì <span id="MathJax-Element-19-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 16.94px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>M</mi></math>"><span id="MJXc-Node-69" class="mjx-math" aria-hidden="true"><span id="MJXc-Node-70" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-71" class="mjx-mi"><span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I">A</span></span></span></span><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math></span></span> có độ dài nhỏ nhất?</p>
<p><strong class="content_detail">Lời giải chi tiết</strong></p>
<p><img class="wscnph" style="max-width: 100%;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/05072022/hinh-bai-27-trand-72-sdk-toan-8-tap-2-mPLmgH.png" /></p>
<p>a) Tứ giác ADME có:<br /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mstyle displaystyle="false"><mover accent="true"><mrow><mi>D</mi><mo>⁢</mo><mi>A</mi><mo>⁢</mo><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mi>A</mi><mo>⁢</mo><mi>D</mi><mo>⁢</mo><mi>M</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mi>A</mi><mo>⁢</mo><mi>EM</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><msup><mn>90</mn><mo>∘</mo></msup></mstyle></math>(giả thiết)<br /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mstyle displaystyle="false"><mo>⇒</mo></mstyle></math> Tứ giác ADME là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)<br />Vì O là trung điểm của đường chéo DE (giả thiết)<br /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mstyle displaystyle="false"><mo>⇒</mo><mi>O</mi></mstyle></math> cũng là trung điểm của AM (tính chất hình chữ nhật)<br />Vậy A, O, M thẳng hàng.<br />b) Kẻ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>H</mi><mo>⟂</mo><mi>B</mi><mo>⁢</mo><mi>C</mi></math>, kẻ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mstyle displaystyle="false"><mi>O</mi><mo>⁢</mo><mi>K</mi><mo>⟂</mo><mi>B</mi><mo>⁢</mo><mi>C</mi></mstyle></math><br />Cách 1:<br />Ta có OA=OM (do O là trung điểm của AM)<br />OK//AH (do cùng vuông góc với BC).<br /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mstyle displaystyle="false"><mo>⇒</mo><mi>K</mi></mstyle></math> là trung điểm của MH (Đường thẳng đi qua trung điểm<br />một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)<br /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mstyle displaystyle="false"><mo>⇒</mo><mi>O</mi><mo>⁢</mo><mi>K</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mi>A</mi><mo>⁢</mo><mi>H</mi></mstyle></math> (tính chất đường trung bình của tam giác)<br />Điểm O cách đoạn BC cố định một khoảng không đổi bằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mstyle displaystyle="false"><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mi>A</mi><mo>⁢</mo><mi>H</mi></mstyle></math><br />Mặt khác khi M trùng C thì O chính là trung điểm của AC, khi M trùng B thì O chính là trung điểm của AB.</p>
<p>Vậy O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">△</mi><mo>⁢</mo><mi>A</mi><mo>⁢</mo><mi>B</mi><mo>⁢</mo><mi>C</mi><mo>.</mo></math></p>
<p>Cách 2:<br />Vì O là trung điểm của AM nên HO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AM. Do đó OA=OH. Suy ra điểm O di chuyển trên đường trung trực của AH.</p>
<p>Mặt khác vì M di chuyển trên đoạn BC. Vậy điểm O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của ABC.<br />c) Ta có AH là đường cao hạ từ A đến BC do đó <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mstyle displaystyle="false"><mi>A</mi><mo>⁢</mo><mi>M</mi><mo>≥</mo><mi>A</mi><mo>⁢</mo><mi>H</mi></mstyle></math> (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất).<br />Vậy AM nhỏ nhất bằng AH khi M trùng H.</p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn giải Bài 67 (Trang 102 SGK Toán Hình học 8, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 68 (Trang 102 SGK Toán Hình học 8, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 69 (Trang 103 SGK Toán Hình học 8, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 70 (Trang 103 SGK Toán Hình học 8, Tập 1)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 72 (Trang 103 SGK Toán Hình học 8, Tập 1)
Xem lời giải