Bài 9.38 (Trang 84 SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 2)

Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) $\mathrm{AI} < \frac{1}{2}(\mathrm{AB} + \mathrm{AC})$;

b) $\mathrm{AM} < \frac{1}{2}(\mathrm{AB} + \mathrm{AC})$.

Hướng dẫn giải

a) Có:

+ $∆$AIB vuông tại I $\Rightarrow$ AB là cạnh huyền $\Rightarrow$ AB > AI (1).

+ $∆$AIC vuông tại I $\Rightarrow$ AC là cạnh huyền $\Rightarrow$ AC > AI (2).

Từ (1) và (2), ta có: 2AI < AB + AC hay AI < $\frac{1}{2}$(AB +AC).

b) Lấy N sao cho M là trung điểm AN.

Xét $∆ABM và ∆NCM$, có:

AM = NM ( M là trung điểm của AN)

$\widehat{AMB} = \widehat{CMN}$ (2 góc đối đỉnh)

 BM = CM ( M là trung điểm của BC)

$\Rightarrow ∆ABM = ∆NCM$ (c - g - c)

$\Rightarrow$AB = CN (2 cạnh tương ứng)

Xét $∆ANC:$ AN < AC + CD (Bất đẳng thức tam giác)

$\Rightarrow$2AM < AC + AB

$\Rightarrow$$\mathrm{AM} < \frac{1}{2}(\mathrm{AB} + \mathrm{AC})$