Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác
Hướng dẫn Giải Bài 6 (Trang 118 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)
<p><strong>Bài 6 (Trang 118 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)</strong></p>
<p>Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:</p>
<p>a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;</p>
<p>b) Nếu tam giác ABC có hai điểm H, I trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.</p>
<p> </p>
<p><em><span style="text-decoration: underline;"><strong>Hướng dẫn giải</strong></span></em></p>
<p>a) Ta có:</p>
<p align="left"> <em>G</em> là trọng tâm của tam giác <em>ABC</em> (giao điểm của ba đường trung tuyến);</p>
<p align="left"> <em>H</em> là trực tâm của tam giác <em>ABC</em> (giao điểm của ba đường cao);</p>
<p align="left"><em> I</em> là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác <em>ABC;</em></p>
<p align="left"><em> </em>O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác <em>ABC</em> (Đường trung trực đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc với cạnh tại trung điểm đó).</p>
<p align="left">Mà tam giác <em>ABC</em> đều nên trong tam giác <em>ABC</em> đường trung tuyến đồng thời là đường cao và là đường phân giác.</p>
<p align="left">Vậy bốn điểm <em>G, H, I, O</em> trùng nhau hay nếu tam giác <em>ABC </em>đều thì bốn điểm <em>G, H, I, O</em> trùng nhau.</p>
<p align="left"> </p>
<p align="left">b) </p>
<p align="left"><img class="wscnph" style="max-width: 100%; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/17102022/bai-6-trand-118-toan-lop-7-tap-2-1-OfVhVs.png" /></p>
<p>Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến BC, CA, AB.</p>
<p>Khi đó HN ⊥ AC.</p>
<p>Mà H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC.</p>
<p>HN ⊥ AC, BH ⊥ AC nên B, H, N thẳng hàng.</p>
<p> </p>
<p>Xét ∆APH vuông tại P và ∆CMH vuông tại M có:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>H</mi><mi>P</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>C</mi><mi>H</mi><mi>M</mi></mrow><mo>^</mo></mover></math> (2 góc đối đỉnh).</p>
<p>HP = HM (theo giả thiết).</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> ∆APH = ∆CMH (góc nhọn - cạnh góc vuông).</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> HA = HC (2 cạnh tương ứng).</p>
<p> </p>
<p>Xét ∆HNA vuông tại N và ∆HNC vuông tại N có:</p>
<p>HN chung.</p>
<p>HA = HC (chứng minh trên).</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> ∆HNA = ∆HNC (2 cạnh góc vuông).</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo></math> AN = CN (2 cạnh tương ứng).</p>
<p>Khi đó N là trung điểm của AC.</p>
<p>HN ⊥ AC tại trung điểm N của AC nên HN là đường trung trực của đoạn thẳng AC.</p>
<p>Mà B, H, N thẳng hàng nên B thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.</p>
<p>Do đó BA = BC.</p>
<p>Thực hiện tương tự, ta chứng minh được CA = CB.</p>
<p>Do đó AB = BC = CA.</p>
<p>Vậy tam giác ABC đều.</p>
<p align="left"> </p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn Giải Hoạt động 1 (Trang 116 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Hoạt động 2 (Trang 117 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Luyện tập - Vận dụng 1 (Trang 117 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Luyện tập - Vận dụng 2 (Trang 117 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Luyện tập - Vận dụng 3 (Trang 118 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Bài 1 (Trang 118 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Bài 2 (Trang 118 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Bài 3 (Trang 118 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Bài 4 (Trang 118 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Bài 5 (Trang 118 SGK Toán 7, Bộ Cánh diều, Tập 2)
Xem lời giải