Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit
Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình lôgarit
<p><strong>1. Các phương pháp giải phương trình mũ</strong></p>
<p><strong>a) Phương pháp đưa về cùng cơ số</strong></p>
<p>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo> </mo><mo><</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mo> </mo><mo>≠</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mfenced><mi mathvariant="normal">b</mi></mfenced><mo> </mo><mi>là</mi><mo> </mo><mi>số</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo> </mo><mi>sao</mi><mo> </mo><mi>cho</mi><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">b</mi></math></p>
<p>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">b</mi><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mi mathvariant="normal">b</mi></math></p>
<p><strong>b) Phương pháp lôgarit hóa</strong></p>
<p>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo> </mo><mo><</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mo> </mo><mo>≠</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mi mathvariant="normal">b</mi><mo> </mo><mi>là</mi><mo> </mo><mi>số</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo> </mo><mi>sao</mi><mo> </mo><mi>cho</mi><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">b</mi></math></p>
<p>Với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">b</mi><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mi mathvariant="normal">b</mi></math></p>
<p><strong>c) Phương pháp đặt ẩn phụ</strong></p>
<p><strong><span style="text-decoration: underline;">Kiểu 1:</span> </strong>Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới</p>
<p><strong><em>-) Dạng 1</em></strong>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>.</mo><mo> </mo><msup><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>b</mi><mo>.</mo><mo> </mo><msup><mi>m</mi><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math></p>
<p>Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">t</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mfenced><mi mathvariant="normal">x</mi></mfenced></mrow></msup><mo> </mo><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math></p>
<p>Ta có: a.t<sup>2</sup> + b.t + c = 0</p>
<p><strong><em>-) Dạng 2:</em></strong> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>.</mo><mo> </mo><msup><mi>m</mi><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>b</mi><mo>.</mo><mo> </mo><msup><mi>n</mi><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math> trong đó m.1 = 1</p>
<p>Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">t</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">n</mi><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mfenced><mi mathvariant="normal">x</mi></mfenced></mrow></msup><mo> </mo><mo>⇒</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mfenced><mi mathvariant="normal">x</mi></mfenced></mrow></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mi mathvariant="normal">t</mi></mfrac><mo> </mo><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mo> </mo><mo>></mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math></p>
<p>Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>.</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>t</mi></mfrac><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>b</mi><mo>.</mo><mi>t</mi><mo> </mo><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>a</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>b</mi><mo>.</mo><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mo>.</mo><mi>t</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi>b</mi><mo>.</mo><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mo>.</mo><mi>t</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>a</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn></math></p>
<p><strong><em>-) Dạng 3 :</em></strong> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">a</mi><mo>.</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">b</mi><mo>.</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>.</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">n</mi><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mo>.</mo><msup><mi mathvariant="normal">n</mi><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math></p>
<p>Chia 2 vế cho <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></msup></math>, ta có:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">a</mi><mo>.</mo><msup><mfenced><mfrac><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><msup><mi mathvariant="normal">n</mi><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup></mfrac></mfenced><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">b</mi><mo>.</mo><msup><mfenced><mfrac><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><msup><mi mathvariant="normal">n</mi><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup></mfrac></mfenced><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math></p>
<p>Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">t</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup><msup><mi mathvariant="normal">n</mi><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow></msup></mfrac></math></p>
<p>Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>.</mo><msup><mi>t</mi><mn>4</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>b</mi><mo>.</mo><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>c</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn></math></p>
<p><span style="text-decoration: underline;"><strong>Kiểu 2</strong>:</span> Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó</p>
<p>-) Xem ẩn đầu là tham số</p>
<p>-) Đưa về phương trình tích</p>
<p>-) Đưa về hệ phương trình</p>
<p><span style="text-decoration: underline;"><strong>Kiểu 3</strong>:</span> Đặt nhiều ẩn, khi đó:</p>
<p>-) Đưa về phương trình tích</p>
<p>-) Đưa về hệ phương trình</p>
<p><strong>d) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.</strong></p>
<p>-) Bước 1: Tìm điều kiện xác định</p>
<p>-) Bước 2: Thực hiện theo 1 trong 2 cách sau:</p>
<p> +) Cách 1: Biến đổi PT sao cho 1 vế là hàm số đơn điệu và 1 vế là hằng số hoặc 1 vế hàm số đồng biến</p>
<p>và vế còn lại là hàm số nghịch biến.</p>
<p> +) Cách 2: Biến đổi PT về dạng f(u) = f(v) với f là hàm số đơn điệu.</p>
<p>-) Bước 3: Nhẩm một nghiệm của PT trên.</p>
<p>-) Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của PT.</p>
<p>2. Các phương pháp giải phương trình lôgarit cơ bản</p>
<p>a) Phương pháp đưa về cùng cơ số</p>
<p>Ví dụ: Giải phương trình <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mfenced><mrow><mo> </mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msup><mn>2</mn><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi></mrow></msup></math></p>
<p>Ta có:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mfenced><mrow><mo> </mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo> </mo><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi></mrow></msup><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo> </mo><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi><mo> </mo></mrow></msup><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mn>1</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mn>5</mn><mi>x</mi><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac></math></p>
<p>b) Phương pháp mũ hóa</p>
<p>Ta có phương trình dạng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mi mathvariant="normal">f</mi><mfenced><mi mathvariant="normal">x</mi></mfenced><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">g</mi><mfenced><mi mathvariant="normal">x</mi></mfenced></math></p>
<p>Phương pháp giải:</p>
<p>-) Bước 1: Tìm điều kiện xác định</p>
<p>-) Bước 2: Lấy lũy thừa cơ số a cả 2 vế: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>log</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></msub><mi mathvariant="normal">f</mi><mfenced><mi mathvariant="normal">x</mi></mfenced><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">g</mi><mfenced><mi mathvariant="normal">x</mi></mfenced><mo> </mo><mo>⇔</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">f</mi><mfenced><mi mathvariant="normal">x</mi></mfenced><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mfenced><mi mathvariant="normal">x</mi></mfenced></mrow></msup></math></p>
<p>-) Bước 3: Giải phương trình trên để tìm x</p>
<p>-) Bước 4: Kiểm tra lại điều kiện và đi tới kết luận</p>
<p>c) Phương pháp đặt ẩn phụ</p>
<ul>
<li><strong>Kiểu 1</strong>: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới</li>
<li><strong>Kiểu 2</strong>: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
<ul>
<li>Xem ẩn ban đầu là tham số</li>
<li>Đưa về phương trình tích</li>
</ul>
</li>
<li><strong>Kiểu 3:</strong> Đặt nhiều ẩn. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
<ul>
<li>Đưa về phương trình tích </li>
<li>Xem 1 ẩn là tham số</li>
<li>biểu thức đòng bậc: đưa về phương trình theo 1 ẩn mới</li>
</ul>
</li>
</ul>
<p>d) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số</p>
<p>Thực hiện tương tự với giải phương trình mũ.</p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài