1. Các phương pháp giải phương trình mũ

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với $0 < \mathrm{a} \ne 1, {\log }_{\mathrm{a}}\left(\mathrm{b}\right) \mathrm{là} \mathrm{số} \mathrm{x} \mathrm{sao} \mathrm{cho} {\mathrm{a}}^{\mathrm{x}} = \mathrm{b}$

Với ${\mathrm{a}}^{\mathrm{x}} = \mathrm{b} \iff \mathrm{x} = {\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}$

b) Phương pháp lôgarit hóa

Với $0 < \mathrm{a} \ne 1, {\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b} \mathrm{là} \mathrm{số} \mathrm{x} \mathrm{sao} \mathrm{cho} {\mathrm{a}}^{\mathrm{x}} = \mathrm{b}$

Với ${\mathrm{a}}^{\mathrm{x}} = \mathrm{b} \iff \mathrm{x} = {\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}$

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Kiểu 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới

-) Dạng 1: $a. m^{2f\left(x\right)} + b. m^{f\left(x\right)} + c =0$

Đặt $\mathrm{t} = {\mathrm{m}}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} (\mathrm{t} > 0)$

Ta có: a.t² + b.t + c = 0

-) Dạng 2: $a. m^{f\left(x\right)} + b. n^{f\left(x\right)} + c =0$ trong đó m.1 = 1

Đặt $\mathrm{t} = {\mathrm{n}}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} \Rightarrow {\mathrm{m}}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} = \frac{1}{\mathrm{t}} (\mathrm{t} > 0)$

Ta có: $a.\frac{1}{t} + b.t + c = 0 \iff a + b.t^2 + c.t = 0 \iff b.t^2 + c.t + a = 0$

-) Dạng 3 :  $\mathrm{a}. {\mathrm{m}}^{2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} + \mathrm{b}. {\mathrm{m}}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} . {\mathrm{n}}^{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)} + \mathrm{c}.{\mathrm{n}}^{2\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)} =0$

Chia 2 vế cho $n^{2g\left(x\right)}$, ta có:

$\mathrm{a}.{\left(\frac{{\mathrm{m}}^{2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}}{{\mathrm{n}}^{2\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}}\right)}^2 + \mathrm{b}.{\left(\frac{{\mathrm{m}}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}}\right)}^2 + \mathrm{c} =0$

Đặt $\mathrm{t} = \frac{{\mathrm{m}}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}}$

Ta có $a.t^4 + b.t^2 + c = 0$

Kiểu 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó

-) Xem ẩn đầu là tham số

-) Đưa về phương trình tích

-) Đưa về hệ phương trình

Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn, khi đó:

-) Đưa về phương trình tích

-) Đưa về hệ phương trình

d) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.

-) Bước 1: Tìm điều kiện xác định

-) Bước 2: Thực hiện theo 1 trong 2 cách sau:

  +) Cách 1: Biến đổi PT sao cho 1 vế là hàm số đơn điệu và 1 vế là hằng số hoặc 1 vế hàm số đồng biến

và vế còn lại là hàm số nghịch biến.

  +) Cách 2: Biến đổi PT về dạng f(u) = f(v) với f là hàm số đơn điệu.

-) Bước 3: Nhẩm một nghiệm của PT trên.

-) Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của PT.

2. Các phương pháp giải phương trình lôgarit cơ bản

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{ 2x - 1} = 2^{3x}$

Ta có:

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{2}\right)}^{ 2x-1} =2^{3x} \\ \iff 2^{-2x+1} =2^{3x } \\ \iff -2x + 1=3x \\ \iff 1 =5x \\ \iff x = \frac{1}{5} \end{gathered}$$

b) Phương pháp mũ hóa

Ta có phương trình dạng ${\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$

Phương pháp giải:

-) Bước 1: Tìm điều kiện xác định

-) Bước 2: Lấy lũy thừa cơ số a cả 2 vế: ${\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \iff \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = {\mathrm{a}}^{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}$

-) Bước 3: Giải phương trình trên để tìm x

-) Bước 4: Kiểm tra lại điều kiện và đi tới kết luận

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

• Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
• Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
  • Xem ẩn ban đầu là tham số
  • Đưa về phương trình tích
• Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
  • Đưa về phương trình tích 
  • Xem 1 ẩn là tham số
  • biểu thức đòng bậc: đưa về phương trình theo 1 ẩn mới

d) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số

Thực hiện tương tự với giải phương trình mũ.