Bài 4 (Trang 85 SGK Toán Giải Tích 12):

Giải các phương trình loogarit :

a) $\frac{1}{2}\log \left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-5\right) = \log 5\mathrm{x} + \log \frac{1}{5\mathrm{x}}$;

b) $\frac{1}{2}\log ({\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-1) = \log 8\mathrm{x}-\log 4\mathrm{x}$;

c) ${\log }_{\sqrt{2}}\mathrm{x} + 4{\log }_4\mathrm{x} + {\log }_8\mathrm{x} = 13$.

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình đã cho tương đương với hệ

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2 +\hspace{0.17em}\mathrm{x} - 5 > 0\\ 5\mathrm{x} > 0 \\ \frac{1}{2}\log \left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-5\right) = 0\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2 + \mathrm{x} - 5 > 0\\ \mathrm{x} > 0\\ {\mathrm{x}}^2 + \mathrm{x} - 5 = 1\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x} > \frac{\sqrt{21} - 1}{2}\\ {\mathrm{x}}^2 + \mathrm{x} - 6 = 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x} > \frac{\sqrt{21} - 1}{2}\\ \mathrm{x} = -3 \mathrm{hoặc} \mathrm{x} = 2\end{array} \iff \mathrm{x} = 2\right. \end{gathered}$$

Vậy S = {2}.

b) Ta có $\frac{1}{2}\log \left(x^2-4x-1\right) = \log 8x-\log 4x$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2 - 4x - 1 > 0\\ x > 0\\ \log \left(x^2-4x-1\right) = 2\log \frac{8x}{4x}\end{array} \iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2 - 4x - 1 > 0 \\ x > 0\\ x^2 - 4x - 1 = 4\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x > 2 + \sqrt{5}\\ x^2 - 4x - 5 = 0\end{array} \iff \left\{\begin{array}{l}x > 2 + \sqrt{5}\\ x = -1 hoặc x = 5\end{array}\iff x = 5\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy S = {5}

c) Với điều kiện x > 0, phương trình đã cho có thể viết lại thành 

${\log }_{2^{\frac{1}{2}}}\mathrm{x}+4 {\log }_{2^2}\mathrm{x} + {\log }_{2^3}\mathrm{x} = 13\iff 2{\log }_2\mathrm{x}+2 {\log }_2\mathrm{x} +\frac{1}{3}{\log }_2\mathrm{x} = 13$

$\iff {\log }_2\mathrm{x} = 3\iff \mathrm{x} = 2^3 = 8$

Vậy S = {8}