1. Nguyên hàm và tính chất

a. Định nghĩa

Kí hiệu $K$ là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của $R$.

Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định trên $K$.

Hàm số $F\left(x\right)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên $K$ nếu $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$ với mọi $x\in K$.

b. Định lý

1) Nếu $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên K thì với mỗi hằng số $C$, hàm số $G\left(x\right)=F\left(x\right)+C$

cũng là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$trên $K$.

2) Ngược lại, nếu $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $K$ 

đều có dạng $F\left(x\right)+C$ với $C$ là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ là $\int f\left(x\right)dx$

Khi đó : $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C, C\in R.$

c. Tính chất của nguyên hàm

$\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C,C\in R.$

$\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$ (với k là hằng số khác 0)

$\int \left(f\right(x)\pm g(x\left)\right)=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

d. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$.

Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp

2. Phương pháp tìm nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Định lý 1: Nếu $\int f\left(u\right)du=F\left(u\right)+C$ và $u=u\left(x\right)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì 

Hệ quả: $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C \left(a\ne 0\right)$

b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phầ

Định lý 2: Nếu hai hàm số $u=u\left(x\right)$ và $y=v\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên K thì $\int u\left(x\right) v\text{'}\left(x\right)dx=u\left(x\right) v\left(x\right)-\int u\text{'}\left(x\right) v\left(x\right)dx.$.

Chú ý: Viết gọn $\int udv=uv-\int vdu$.