Bài 1: Nguyên hàm
Lý thuyết Nguyên hàm
<p><strong>1. Nguyên hàm và tính chất</strong></p>
<p><strong>a. Định nghĩa</strong></p>
<p>Kí hiệu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>K</mi></math> là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi></math>.</p>
<p>Cho hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> xác định trên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>K</mi></math>.</p>
<p>Hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> được gọi là nguyên hàm của hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> trên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>K</mi></math> nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mo>'</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> với mọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi></math>.</p>
<p><strong>b. Định lý</strong></p>
<p>1) Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> là một nguyên hàm của hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> trên K thì với mỗi hằng số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi></math>, hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>G</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>F</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>C</mi></math></p>
<p>cũng là một nguyên hàm của hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math>trên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>K</mi></math>.</p>
<p>2) Ngược lại, nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> là một nguyên hàm của hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> trên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>K</mi></math> thì mọi nguyên hàm của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> trên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>K</mi></math> </p>
<p>đều có dạng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>C</mi></math> với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi></math> là một hằng số tùy ý.</p>
<p>Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∫</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi></math></p>
<p>Khi đó : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∫</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>F</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>C</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>C</mi><mo>∈</mo><mi>R</mi><mo>.</mo></math></p>
<p><strong>c. Tính chất của nguyên hàm</strong></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∫</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>F</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>C</mi><mo>,</mo><mi>C</mi><mo>∈</mo><mi>R</mi><mo>.</mo></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∫</mo><mi>k</mi><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>∫</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi></math> (với k là hằng số khác 0)</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∫</mo><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>±</mo><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>∫</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>±</mo><mo>∫</mo><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi></math></p>
<p><strong>d. Sự tồn tại nguyên hàm</strong></p>
<p><strong>Định lí</strong>: Mọi hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> liên tục trên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>K</mi></math> đều có nguyên hàm trên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>K</mi></math>.</p>
<p><strong>Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp</strong></p>
<table style="height: 329px; width: 79.6394%;" border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tbody>
<tr style="height: 71.4219px;">
<td style="width: 50%; height: 71.4219px;" valign="top" width="308">
<p><em><strong> Nguyên hàm của hàm số sơ cấp</strong></em></p>
</td>
<td style="width: 50%; height: 71.4219px;" valign="top" width="308">
<p><strong><em> Ng</em><em>uyên hàm của hàm hợp</em></strong></p>
</td>
</tr>
<tr style="height: 226.547px;">
<td style="width: 50%; height: 226.547px;" valign="top" width="308">
<p><em> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>C</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>∫</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>C</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>∫</mo><msup><mi>x</mi><mi>α</mi></msup><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>C</mi><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo></math></em></p>
<p><em><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>≠</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math><span id="MathJax-Element-32-Frame" class="mjx-chtml MathJax_CHTML" style="margin: 0px; padding: 1px 0px; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: normal; font-size: 21.78px; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;" tabindex="0" role="presentation" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>&#x222B;</mo><mn>0</mn><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>C</mi></math>"><span id="MJXc-Node-239" class="mjx-math" aria-hidden="true"><span id="MJXc-Node-240" class="mjx-mrow"><span id="MJXc-Node-241" class="mjx-mo"></span></span></span></span></em><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi></mi></math></p>
<p><em><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∫</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>ln</mi><mfenced open="|" close="|"><mi>x</mi></mfenced><mo>+</mo><mi>C</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>∫</mo><msup><mi>e</mi><mi>x</mi></msup><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mi>x</mi></msup><mo>+</mo><mi>C</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>∫</mo><msup><mi>a</mi><mi>x</mi></msup><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mi>x</mi></msup><mrow><mi>ln</mi><mi>a</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>C</mi><mo> </mo></math></em></p>
<p><em><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo> </mo><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>></mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mi>a</mi><mo>≠</mo><mn>1 </mn></mrow></mfenced></math></em><em><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>∫</mo><mi>cos</mi><mi>x</mi><mi>d</mi><mi>x</mi></math></em></p>
<p><em><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>C</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>∫</mo><mi>sin</mi><mi>x</mi><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>C</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>∫</mo><mfrac><mn>1</mn><mfenced><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></mrow></mfenced></mfrac><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>C</mi></math></em></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∫</mo><mfrac><mn>1</mn><mfenced><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></mrow></mfenced></mfrac><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>t</mi><mi>x</mi><mo>+C</mo></math></p>
</td>
<td style="width: 50%; height: 226.547px;" valign="top" width="308">
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∫</mo><msup><mi>u</mi><mi>α</mi></msup><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>u</mi><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow><mi>u</mi><mo>'</mo><mo>.</mo><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>C</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>∫</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>u</mi></mfrac><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>ln</mi><mfenced open="|" close="|"><mi>u</mi></mfenced></mrow><mrow><mi>u</mi><mo>'</mo></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>C</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>∫</mo><msup><mi>e</mi><mi>u</mi></msup><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>e</mi><mi>u</mi></msup><mrow><mi>u</mi><mo>'</mo></mrow></mfrac><mo>+</mo></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>∫</mo><msup><mi>a</mi><mi>u</mi></msup><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>a</mi><mi>u</mi></msup><mrow><mi>u</mi><mo>'</mo><mo>.</mo><mi>ln</mi><mi>a</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>C</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>∫</mo><mi>cos</mi><mi>u</mi><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>u</mi><mo>'</mo></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>C</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>∫</mo><mi>sin</mi><mi>u</mi><mi>d</mi><mi>x</mi></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>cos</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>u</mi><mo>'</mo></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>C</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>∫</mo><mfrac><mn>1</mn><mfenced><mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>u</mi></mrow></mfenced></mfrac><mi>d</mi><mi>u</mi></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>tan</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>u</mi><mo>'</mo></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>C</mi><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>∫</mo><mfrac><mn>1</mn><mfenced><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>u</mi></mrow></mfenced></mfrac><mi>d</mi><mi>u</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>t</mi><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>u</mi><mo>'</mo></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>C</mi></math></p>
<p> </p>
<p> </p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p><strong>2. Phương pháp tìm nguyên hàm</strong></p>
<p><strong>a) Phương pháp đổi biến số</strong></p>
<p><strong>Định lý 1:</strong> Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∫</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>u</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>u</mi><mo>=</mo><mi>F</mi><mo>(</mo><mi>u</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>C</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>=</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> là hàm số có đạo hàm liên tục thì </p>
<p><strong>Hệ quả:</strong> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∫</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>a</mi></mfrac><mi>F</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>C</mi><mo> </mo><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math></p>
<p><strong>b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phầ</strong></p>
<p><strong>Định lý 2:</strong> Nếu hai hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>=</mo><mi>u</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>v</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> có đạo hàm liên tục trên K thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∫</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mi>v</mi><mo>'</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mi>v</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mo>∫</mo><mi>u</mi><mo>'</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mi>v</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>.</mo></math>.</p>
<p><strong>Chú ý:</strong> Viết gọn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∫</mo><mi>u</mi><mi>d</mi><mi>v</mi><mo>=</mo><mi>u</mi><mi>v</mi><mo>-</mo><mo>∫</mo><mi>v</mi><mi>d</mi><mi>u</mi></math>.</p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài