Bài 4 (Trang 101 SGK Toán Giải tích 12):

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a)$\int \mathrm{xln}\left(1+\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$ ;

b) $\int \left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}$ ;

c) $\int \mathrm{xsinx}\left(2\mathrm{x}+1\right)\mathrm{dx}$ ;

d) $\int \left(1-\mathrm{x}\right)\mathrm{cosxdx}$ .

Hướng dẫn giải:

a) Đặt: $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(x+1\right)\\ dv=xdx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{dx}{1+x}\\ v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right.$

$\int \mathrm{xln}\left(1+\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} = \frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\ln \left(1+\mathrm{x}\right)-\frac{1}{2}\int \frac{{\mathrm{x}}^2\mathrm{dx}}{\mathrm{x}+1} = \frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\ln \left(1+\mathrm{x}\right)-\frac{1}{2}\int \left(\mathrm{x}-1+\frac{1}{\mathrm{x}+1}\right)\mathrm{dx}$

$= \frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\ln \left(1+\mathrm{x}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}-\mathrm{x}+\ln \left|\mathrm{x}+1\right|\right)+\mathrm{C} = \frac{1}{2}\left({\mathrm{x}}^2-1\right)\ln \left(1+\mathrm{x}\right)-\frac{{\mathrm{x}}^2}{4}+\frac{\mathrm{x}}{2}+\mathrm{C}$

b)

Đặt: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}={\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1\\ \mathrm{dv}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{du}=\left(2\mathrm{x}+2\right)\mathrm{dx}\\ \mathrm{v}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\end{array}\right.$

$\int \left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1\right).{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-2\int \left(\mathrm{x}+1\right).{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}$

Đặt: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=\mathrm{x}+1\\ \mathrm{dv}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{du}=\mathrm{dx}\\ \mathrm{v}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\end{array}\right.$

Suy ra $\int \left(\mathrm{x}+1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx} = \left(\mathrm{x}+1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx} = {\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

Vậy $\int \left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} = \left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-2{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C} = \left({\mathrm{x}}^2-1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

c)

Đặt: $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\sin \left(2x+1\right)dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=-\frac{1}{2}\cos \left(2x+1\right)\end{array}\right.$

$\int \mathrm{xsin}\left(2\mathrm{x}+1\right)\mathrm{dx} = \frac{-\mathrm{x}}{2}\cos \left(2\mathrm{x}+1\right)+\frac{1}{2}\int \cos \left(2\mathrm{x}+1\right)\mathrm{dx} = \frac{-\mathrm{x}}{2}\cos \left(2\mathrm{x}+1\right)+\frac{1}{4}\sin \left(2\mathrm{x}+1\right)+\mathrm{C}$

d) Đặt: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=1-\mathrm{x}\\ \mathrm{dv}=\mathrm{cosdx}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{du}=-\mathrm{dx}\\ \mathrm{v}=\mathrm{sinx}\end{array}\right.$

$\int \left(1-\mathrm{x}\right)\mathrm{cosdx}=\left(1-\mathrm{x}\right)\mathrm{sinx}+\int \mathrm{sinxdx}=\left(1-\mathrm{x}\right)\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx}+\mathrm{C}$