Bài 1 (Trang 100 SGK Toán Giải tích 12):

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}} \mathrm{và} -{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}} ;$

b) $\sin 2\mathrm{x} \mathrm{và} {\sin }^2\mathrm{x} ;$

c) ${\left(1-\frac{2}{\mathrm{x}}\right)}^2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \mathrm{và} \left(1-\frac{4}{\mathrm{x}}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} .$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $\left(e^{-x}\right)\text{'} = -e^{-x} và (-e^{-x})\text{'} = e^{-x} nên e^{-x}và -e^{-x}$ là nguyên hàm của nhau 

b) $\left({\sin }^{2}x\right)\text{'} = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ nên ${\sin }^{2}x$là một nguyên hàm của  $\sin 2x$

c) ${\left[\left(1-\frac{4}{x}\right)e^X\right]}^{\text{'}} = \frac{4}{x^2}{e}^X + \left(1-\frac{4}{x}\right).e^{X }= {\left(1-\frac{2}{x}\right)}^2.e^X$ 

nên $\left(1-\frac{4}{x}\right)e^{X }$ là một nguyên hàm của ${\left(1-\frac{2}{x}\right)}^2.e^{x }.$